Umkehrfunktion bilden von f(x) = 1/(1+sin^{2}x)

Question

zu der folgenden Funktion soll ich die Umkehrfunktion bilden, bin mir aber nicht sicher wie ich das anstellen soll.

\( f(x)=\frac{1}{1+\sin ^{2} x} \)

Answer 1

y = 1/(1+sin² x)

1/y = 1+sin²x

1/y -1 = sin²x

√(1/y-1) = sin x

arcsin √(1/y-1) = x

Comments

Danke !
dazu soll ich noch ein möglichst großes intervall angeben auf dem die Funktion umkehrbar ist, wie finde ich das heraus?

Vielen dank für die Mühe!

---

Die Umkehrfunktion ist nur für die y-Werte definiert, die die Funktion selber auch erreichen kann.

Da der Sinus zwischen -1 und 1 schwankt, schwankt sin² (x) zwischen 0 und 1. Damit schwankt der Nenner von f(x) zwischen 1 und 2 und somit die ganze Funktion f(x) zwischen 1/2 und 1. Es werden also nur Werte zwischen 1/2 und 1 angenommen. Folglich ist die Funktion auch nur in diesem Bereich umkehrbar.