Umkehrfunktion von Sinus Hyperbolicus

Question

Ich muss die Umkehrfunktion von sinh(x)=\( \frac{e^x-e^(-x) }{2} \) berechnen (e hoch -x soll es heißen)

was ich weiß, ist, dass ich die Variablen vertauschen muss, aber erst am Ende denke ich

was ich auch weiß, ist, dass ich erstmal die Funktionen umformen muss

ich habe also damit angefangen, zu schreiben, 2sinh(x)=e^x-e^(-x)
ich denke, dass ich mit ln "e" wegkriegen kann

also

ln(2sinh(x))=x+x

was ich auch noch weiß, ist, dass die Umkehrfunktion für sinx arcsinx lautet

also habe ich ln(2arcsinh(x))=x+x
das Ergebnis habe ich: es soll arcsinh(y) = ln(y +\( \sqrt{y^2+1} \) sein

ich weiß aber nicht, wie ich draufkommen kann, und irgendwie sieht das, was ich soweit gemacht habe, nicht richtig aus

Answer 1

Zum Beispiel mit quadratischer Ergänzung:$$y=\sinh(x)\\y=\frac{\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}}2\\2y=\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}\\2y\mathrm e^x=\mathrm e^{2x}-1\\\mathrm e^{2x}-2y\mathrm e^x+y^2=y^2+1\\(\mathrm e^x-y)^2=y^2+1\\\mathrm e^x=y+\sqrt{y^2+1}\\x=\ln(y+\sqrt{y^2+1}).$$

Comments

können Sie mir erklären, wie man von 2y=e^x - e^-x auf 2ye^x=e^(2x)-1 kommt? verstehe den Schritt nicht

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Multipliziere auf beiden Seiten mit \(\mathrm e^x\) und erhalte auf der rechten Seite
\((\mathrm e^x-\mathrm e^{-x})\cdot\mathrm e^x=\mathrm e^{2x}-1\).

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und wie kommt man auf die Idee, dass man mit e^x multiplizieren muss? ist es damit e^(-x) sozusagen wegfällt?

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Wenn man mit \(\mathrm e^x\) multipliziert, erhält man eine quadratische Gleichung für \(\mathrm e^x\).
Etwas ausführlicher substituiere \(z=\mathrm e^x\). Aus der Gleichung \(2y=\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}\) wird dann \(2y=z-\tfrac1z\). Multipliziere diese Gleichung mit \(z\) um eine quadratische Gleichung für \(z\) zu erhalten. Löse diese mit einem der bekannten Verfahren und resubstituiere.
Bemerkung: Die negative Lösung entfällt hier, weil e^x > 0 gilt.

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alles klar, verstanden, danke!