f(x):=(x²-x)/(x-1) wenn x ≠1 und f(x):= 2 wenn x = 1;Stetigkeit, Limes gegen nicht 1?

Question

Es geht um folgende Funktion:

f(x) = x²-x / x-1 wenn x != 1 (nicht gleich)
und f(x) = 2 wenn x = 1;

Ich weiss, dass ich nun den Limes gegen irgendwas laufen lassen muss, doch gegen was, wenn es nicht 1 werden darf?

Comments

Oh ich hab vergessen zu schreiben, das die Stetigkeit überprüft werden soll bei x0 = 1

Answer 1

f(x)=(x²-x) / (x-1) =x(x-1)/ (x-1) = x  →1 für x→1, also lim_{x→1} f(x)=1 ≠ f(1)=2 ⇒ f ist in 1 nicht stetig.

Comments

Hallo ich habe dieses Methode mal in einer anderen Aufgabe übernommen die recht ähnlich ist, doch komme nicht weiter:

f(x) = x²-1 / x-1 wenn x != 1 (nicht gleich)
und das untere ist das gleiche.

Also
f(x) = x²-1 / x-1 = x(x-1/x) / x-1 doch ich kann ja nichts kürzen.
müsste ich dann wie bei der grenzwert berechnun die x² ausklammern?

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x^2 -1 = (x-1)*(x+1)

Probiers mal damit. Dann kannst du die (x-1) kürzen und dein Grenzwert wird 2.

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Achso ich hab es verstanden ^^. Wenn also f(x) mehrere funktionen hat bzw. unter mehreren bedingungen sich verändert, dann kann ich testen, ob diese Stetig sind, wenn die Funktionen alle am Ende das Gleiche haben.

Cool dann habe ich es doch langsam verstanden ^^

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Ja, es darf keine Sprünge oder Lücken geben. Das ist Stetigkeit im bildlichen Sinne.

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Ich hab noch eine Frage zu diesem Thema:

Wennn ich prüfen soll ob f(x) 1/x stetig ist bei x0 = 1,
Muss ich dies doch so machen:

f(x) = 1/x

1. lim_x->1^- f(x) = -(1/x) = -1/-x = -1/-1 = 1
und
2. lim_x->1⁺ f(x) = --- = 1

Meine Frage direkt: ist es so, wenn ein ^- angestellt ist, das ich dann komplett -(f(x)) machen muss?
Oder nur die X variable denn dann würde beim 1. -1 rauskommen. und das wäre dann ja ungleich.

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x→1⁺ heisst , dass x gegen 1 von rechts kommt. also grob x ≈1,000001

x→1 ^- heisst , dass x gegen 1 von links kommt. also grob x ≈1-0,000001=0,999999

aber x geht in beiden Faellen gegen 1.

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Das + und das - meinen, dass du dich von links (von - kommend) und rechts (von + kommend) an 1 annähern sollst. Mit anderen Worten du sollst immer kleinere Zahlen von 1 subtrahieren (-) und dann immer kleinere Zahlen zu 1 dazu addieren (+).

Wenn beide Grenzwerte gleich sind, ist die Funktion an der Stelle stetig. Dazu muss sie aber auch an dieser Stelle definiert sein.

Answer 2

Ich nehme an, du meinst diese Funktion:

f(x) = (x^2 - x) / (x-1)

lim x→1 (x^2 - x) / (x-1) = lim x→1 (x - 1)*x / (x-1) = lim x→1 x = 1

Da der Grenzwert für x→1 nicht gleich dem Funktionswert ist, ist die Funktion nicht stetig in x=1