Warum kann man diese Wurzel so als Potenz schreiben: ³√(8^2) = 8^{2/3}

Question

Aufgabe:

Warum kann man diese Wurzel so als Potenz schreiben:

\( \sqrt[3]{8^{2}}=8^{\frac{2}{3}} \)

Es kommt das gleiche raus, aber warum kann man einfach den Exponenten von 8 in den Zähler und 3 in den Nenner stellen?

Answer 1

dritte Wurzel aus a = a^(1/3)

Wurzel aus a = a^(1/2)

(a^(1/2))^(1/3) = a^(1/2*1/3) = a^(1/6),   Potenzgesetz

-> (8^2)^(1/3) = 8^(2*1/3) = 8^(2/3)

allgemein:

n-te Wurzel aus a^m = a^(m/n)

Answer 2

\(a=\sqrt[3]{8^{2}}\)

\(a^3=8^2\)

\(b=8^{\frac{2}{3}} \)

\(b^3=(8^{\frac{2}{3}})^3=8^{\frac{2}{3}\cdot3}=8^2 \)

\(\Rightarrow a=b\)

:-)