Bestimmen Sie Matrizen T ∈ {GL}(4, ℝ) und S ∈ {GL}(5, ℝ)

Question

Hallo ihr Lieben:)

Könntet ihr mir bitte erläutern wie ich bei dieser Aufgabe vorgehe?

Ich weiß dass ich zuerst den Gauß-Algorithmus anwende, aber danach komme ich leider nicht mehr weiter.

Danke für jede Hilfe !:)

4. Es seien
\( B=\left(\begin{array}{lllll} 2 & 1 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 2 & 3 & 5 \\ 2 & 1 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{4 \times 5} \)
und \( r= \) Rang \( B \). Bestimmen Sie Matrizen \( T \in \mathrm{GL}(4, \mathbb{R}) \) und \( S \in \mathrm{GL}(5, \mathbb{R}) \) so, dass
\( T^{-1} B S=\left(\begin{array}{cc} I_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \)
[Hinweis: Bringen Sie zunächst \( B \) in Zeilenstufenform mit elementaren Zeilenumformungen, dann das Ergebnis in die Form \( (\star) \) mit elementaren Spaltenumformungen. Sie erhalten die Matrix \( S \) durch Anwendungen der Spaltenumformungen auf \( I_{5} \) in derselben Reihenfolge und die Matrix \( T \) durch Anwendung der Zeilenumformungen auf \( I_{4} \) in umgekehrter Reihenfolge.]

Answer 1

Rechenhilfe https://www.geogebra.org/m/yygxzq8p

[3] Reihenfolge:={1,2,3,4,5,6,7,8,-1,-2,-3,-4,-5,-6};

[5] A:=({{2,1,1,1,2},{3,2,1,1,2},{4,2,2,3,5},{2,1,1,2,3}})

P enthält Zeilenoperationen als Elementarmatrizen
Zeilen-Operation {r,c,a}, r=r+c*a, gelesen von rechts nach links:

P:{{1, 2, -1}, {1, 3, -1}, {2, 3, 1}, {4, 3, -1}, {2, 2, 2}, {2, 1, -3 / 2}, {3, 1, -2}, {4, 1, -1}}

Q enthält Spaltenoperationen als Elementarmatrizen
Spalten-Operation {r,c,a}, r*a + c = c, gelesen von links nach rechts

Q:{{4, 5, -1}, {3, 5, -1}, {2, 3, 1}, {1, 3, -1}, {3, 4}, {1, 1, 1 / 2}}

Zeilen-Spaltentausche {r,s}, tausche Zeile/Spalte r mit Zeile/Spalte s

===>

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}8&-2&-2&0\\-5&2&1&0\\-2&0&1&0\\1&0&-1&1\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{rrrrr}2&1&1&1&2\\3&2&1&1&2\\4&2&2&3&5\\2&1&1&2&3\\\end{array}\right) \; \left(\begin{array}{rrrrr}\frac{1}{2}&0&0&-1&0\\0&1&0&1&0\\0&0&0&1&-1\\0&0&1&0&-1\\0&0&0&0&1\\\end{array}\right) = \)

\(\small \left(\begin{array}{rrrrr}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}\right)\)