Bestimmen Sie den Zeitpunkt, ab dem der Behälter zur Hälfte gefüllt ist.

Question

Aufgabe:1 Ein Behälter hat ein Fassungsvermögen von 1200 Liter. Die enthaltene Flüssigkeitsmenge zum Zeitpunkt t wird beschrieben durch die Funktion f mit f(t) = 1000 – 800 e-0,01t (t in Minuten, f(t) in Liter). Bestimmen Sie den Zeitpunkt, ab dem der Behälter zur Hälfte gefüllt ist. Zeigen Sie, dass die Flüssigkeitsmenge im Behälter stets zunimmt. Ein Techniker behauptet, dass die Flüssigkeitmenge höchstens um 9 Liter pro Minute zunimmt. Prüfen Sie die Behauptung.

Problem/Ansatz: wie rechnet man das ?

Answer 1

600 = 1000 - 800*e^(-0,01t)

ergibt t= ln(0,5)/-0,01 ≈ 69

Also nach 69 Minuten

b) Zeige f ' (t) > 0 für alle t,

also f ist streng monoton steigend.

c) größer Wert bei t=0.

Comments

danke aber wie kommst du auf 600?

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Die Hälfte von 1200.

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okay danke!!!! aber wie meinen sie das bei nr c) ?

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f ' ' (t) < 0.

Also f ' (t) monoton fallend, d.h. es wird immer weniger.

Und bei t=0 ist es 8 Liter pro Minute.

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wie kommt man bei a) also gleichung lösen am ende auf 69 ? ich weiss nicht mehr wie man gleichungen per hand löst. könnten sie einmal zeigen wie das geht ?

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600 = 1000 - 800*e^(-0,01t)

-400 = - 800*e^(-0,01t)

 1/2 = e^(-0,01t)

ln(1/2) = -0,01t

ln(1/2) / (-0,01)  = t

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dankee aber ich verstehe nicht den schritt in der dritten zeile nicht wie du von links -400 auf 1/2 kommst weil wenn ich die -800 rüber hole sind ja -400 +800= 400 oder nicht ?

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-400 = - 800 * e^(-0,01t) | : - 800
-400 / - 800 = 1 * e^(-0,01t)
1/2 = e^(-0,01t)

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oh gott das mal total übersehen und jetzt macht alles sinn hahha dankeee

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wie kommt man bei t =0 auf 8?

ich versuche es die ganze zeit zu rechnen aber es haut nicht hin. könnten sie die vollständige rechnung zeigen?

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f(t) = 1000 – 800 * e^(-0,01*t)

Und bei t=0 ist es 8 Liter pro Minute.
Die erste Ableitung ist gesucht.

f ´ (t) = – 800 *  e^(-0,01*t) * (-0.01)

t = 0
- 0.01 * t = 0
e^0 = 1
1 * -(-0.01) = -0.01
-800 * -0.01 = 8

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das verstehe ich jetzt irgenwie erst recht nicht. erst hiess es die gleichung nur null setzen und jetzt aufeinmal erste ableitung?

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Du hast doch gefragt

wie kommt man bei t =0 auf 8?

darauf habe ich dir eine Antwort
gegeben.

Welche Aufgabe verstehst du denn nicht
a.),
Bestimmen Sie den Zeitpunkt, ab dem der Behälter zur Hälfte gefüllt ist.
b.)
Zeigen Sie, dass die Flüssigkeitsmenge im Behälter stets zunimmt.
c.)
Ein Techniker behauptet, dass die Flüssigkeitmenge höchstens um 9 Liter pro Minute zunimmt.
Prüfen Sie die Behauptung.

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wie soll man das bei b ausrechnen? ich verstehe gar nicht wie man vorgehen soll

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f (t) = 1000 – 800 * e^(-0,01*t)

Zeigen Sie, dass die Flüssigkeitsmenge im Behälter stets zunimmt.
Das bedeutet die Steigung ist stets positiv

Steigung = 1.Ableitung
f ´ (t) = – 800 *  e^(-0,01*t) * (-0.01)

Versuch zum Nachweis
– 800 *  e^(-0,01*t) * (-0.01) > 0
8   * e^(-0,01*t) >  0
Stimmt
Die e-Funktion ist stets positiv.
8 * positv > 0
Die Steigung ist stets positiv.