Berechne Flächeninhalt des Dreiecks, das von den Vektoren a und b pfeil aufgespannt wird

Question

Aufgabe:

Berechne Flächeninhalt des Dreiecks, das von den Vektoren \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) aufgespannt wird.

\(A= \frac{1}{2} \sqrt{\vec{a}^2 \cdot \vec{b}^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2} \)

Problem/Ansatz:

alles nach a² steht unter der wurzel*

wir rechnen noch nicht mit dem kreuzprodukt, aber ich weiß nicht wie ich da rechnen soll. etwa mit dem skalarprodukt? die vektoren sind ja zum quadrat. bitte irgendein beispiel mit irgendwelchen zahlen erfinden

Answer 1

Hallo,

ich betrachte das Parallelogramm, das von den beiden Vektoren aufgespannt wird.

\(\sqrt{\vec{a}^2 \cdot \vec{b}^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}\\ = \sqrt{|a|^2 \cdot |b|^2 - |a|^2\cdot |b|^2\cdot\cos^2\alpha}\\ =  \sqrt{|a|^2 \cdot |b|^2\cdot (1-\cos^2\alpha)} \\= \sqrt{|a|^2 \cdot |b|^2\cdot \sin^2\alpha} \\=  |a|\cdot |b|\cdot \sin\alpha\\ =a\cdot h_a\\ =A_\text{Parallelogramm}\)

Für das Dreieck immer mit 1/2 multiplizieren.

ein bsp wäre:
a= (0 | 5 | 3) , b= (6 | -2 | -1)

|a|^2=0^2+5^2+3^2=34

|b|^2=6^2+2^2+1^2=41

Skalarprodukt: 0*6-5*2-3*1=-13 → Quadrat: 169

Jetzt noch einsetzen.

:-)

Answer 2

hier:

https://de.serlo.org/mathe/2097/fl%C3%A4chenberechnung-in-der-analytischen-geometrie

Comments

Aber das ist mit dem kreuzprodukt

Wie soll ich das mit der obengenannten formel rechnen?

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Du kannst das Skalarprodukt mit deiner Formel verwenden. Du solltest ja aufs gleiche Ergebnis kommen. Probierst du es mal. Wenn es nicht klappt kann ich es auch vorrechnen.

Answer 3

Je genau. Du rechnest mit dem Skalarprodukt

$$A = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{|\overrightarrow a|^2 \cdot |\overrightarrow b|^2 - (\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b)^2}$$

Hast du selber Übungsaufgaben oder brauchst du welche?

Comments

Warum haben Sie statt a² wie bei meiner formel, den betrag von a genommen.

ein bsp wäre:

a= (0 | 5 | 3) , b= (6 | -2 | -1)

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Irgendwie war das Quadrat bei der Übertragung verloren gegangen.

Man schreibt nur den Betrag weil das Quadrat eines Vektors nicht eindeutig ist. Theoretisch kann man auch das Vektorprodukt zum quadrieren verwenden.