Quadratische Gleichung lösen: mx2- (m2+1)x + m =0

Question

Aufgabe:

mx^2- (m^2+1)x + m =0

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand diese Rechnung ausrechnen und zwar Schritt für Schritt indem er/sie die Mitternachtsformel benutzt. m und 1/m sollen als Lösungen herauskommen.

Danke im Voraus

Answer 1

mit abc-Formel:

a=m

b= -(m^2+1)

c= m

(m^2+1+-√(m^2+1)^2-4*m*m)/(2m)

m1/2 = ....

Comments

geht es dann so weiter:

m^2+1 +-√m^4+1-4m^2 / 2m

ich weiß dann nicht wie es weitergehen soll, weil ich nicht die Wurzel ziehen kann von der Diskriminante

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Deine Diskriminante ist falsch. Sie müsste lauten:

\((m^2+1)^2-4m^2=m^4+2m^2+1-4m^2=\)

\(=m^4-2m^2+1=(m^2-1)^2\)

Answer 2

Hallo,

mit Vieta:

mx^2- (m^2+1)x + m =0    |*1/m

x^2-(m + 1/m)x +1 =0

Es werden zwei Zahlen gesucht, deren Produkt 1 und deren Summe m + 1/m ist.

 --> x=m oder x=1/m

:-)

Comments

ich kenne die Lösungen theoretisch nicht deshalb kann ich Vieta auch nicht benutzen

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ich kenne die Lösungen theoretisch nicht

Das ist mir schon klar.

deshalb kann ich Vieta auch nicht benutzen

Doch, denn p=-(m + 1/m) und q=1.

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warum multipliziert man am Anfang mit 1/m ?

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Weil der Satz von Vieta für die Gleichung

x^2+px+q=0 gilt.

Also muss vor x^2 der Faktor 1 stehen.

*1/m ist das Gleiche wie /m, also durch m dividieren.

(m^2+1)/m = m^2/m + 1/m =  m + 1/m

Answer 3

Teile durch m und benutze die pq-Formel. Ergebnis: x=m oder x=\( \frac{1}{m} \).

Comments

wie teile ich die Gleichung durch m?

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Wie teilt man eine Gleichung durch einen Parameter, der ja für eine Zahl steht?

x²- \( \frac{m^2+1}{m} \) ·x+1=0.

Answer 4

mx^2- (m^2+1)x + m =0|:m

x^2- \( \frac{m^2+1}{m} \) *x +1 =0|-1

x^2- \( \frac{m^2+1}{m} \) *x =-1

(x-\( \frac{m^2+1}{2m} \))^2=-1+(\( \frac{m^2+1}{2m} \))^2=-1+\( \frac{(m^2+1)^2}{4m^2} \)=\( \frac{-4m^2+m^4+2m^2+1}{4m^2} \)=

(x-\( \frac{m^2+1}{2m} \))^2=\( \frac{m^4-2m^2+1}{4m^2} \)=\( \frac{(m^2-1)^2}{4m^2} \)|\( \sqrt{} \)

x-\( \frac{m^2+1}{2m} \)=\( \frac{m^2-1}{2m} \)

x₁=\( \frac{m^2+1}{2m} \)+\( \frac{m^2-1}{2m} \)=m

x-\( \frac{m^2+1}{2m} \)=-\( \frac{m^2-1}{2m} \)

x₂=\( \frac{m^2+1}{2m} \)-\( \frac{m^2-1}{2m} \)=\( \frac{1}{m} \) mit m≠0

Answer 5

Hallo,

Mitternachtsformel: \( x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \)

Jetzt a, b und c bestimmen, s. Antwort von Gast2016 und in die Formel einsetzen:

\(x=\frac{m^2+1\pm \sqrt{(m^2+1)^{2}-4 \cdot m\cdot m}}{2 m}\\ =\frac{m^2+1\pm \sqrt{m^4+2m^2+1 -4m^2}}{2 m}\\ =\frac{m^2+1\pm \sqrt{m^4-2m^2+1 }}{2 m}\\ =\frac{m^2+1\pm \sqrt{(m^2-1)^2 }}{2 m}\\ =\frac{m^2+1\pm (m^2-1)}{2 m}\\ \text{1. Fall:}\quad \frac{m^2+1+(m^2-1)}{2 m}=\frac{2m^2}{2m}=m\\ \text{2. Fall: }\quad \frac{m^2+1-(m^2-1)}{2 m}=\frac{2}{2m}=\frac{1}{m}\)

Gruß, Silvia