Ist f eine Wahrscheinlichkeitsdichte?

Question

Hallo Leute,

wie kann ich zeigen, dass dies eine Dichte ist?

f(x,y)=e^-2x-0,5y 1_[o,∞](x) 1_[o,∞](y)

Zur Anmerkung: 1 ist ein Symbol und es gilt: 1_[o,∞](x)= 1, wenn x≥0 und sonst 0 

(Ich weiß, dass man die Dichte mithilfe dieses Ansatzes \( \int\limits_{-\infty}^{\infty} \) f(x) dx = 1 überprüfen kann, aber weil es im R² ist verwirrt mich dies voll.)

Ich bedanke mich für jede Antwort!

Answer 1

Es ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte, weil

\( \int \limits_{0}^{\infty} \int \limits_{0}^{\infty} e^{-2 x-0.5 y} d x \, d y=1 \)

Comments

Kannst du mir dies mithilfe von Rechenschritten zeigen?

Ich wär dir sehr dankbar…

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Die Stammfunktion von e^{-2x - 1/2y} nach x ist -1/2 e^{-2x - 1/2y}

Das innere Integral ist gleich Stammfunktion am oberen Rand

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty}-\frac{1}{2} e^{-2 x-y / 2}=0 \)

minus Stammfunktion am unteren Rand x = 0

\( -\frac{1}{2} e^{-y / 2} \)

also

0 - (\( -\frac{1}{2} e^{-y / 2} \)) = \( \frac{1}{2} e^{-y / 2} \)

Die Stammfunktion von 1/2 e^-y/2 nach y ist -e^-y/2

Das äußere Intergral ist gleich Stammfunktion am oberen Rand

\( \lim \limits_{y \rightarrow \infty}-e^{-y / 2}=0 \)

minus Stammfunktion am unteren Rand y = 0

-1

also

0 - (-1) = 1

Die Integrationskonstante C habe ich überall weggelassen, weil ihre Addition sich wieder aufhebt.