Umkehrfunktion von (gof)(x) = log(3(- (7/5x-2)) +4), x im Nenner

Question

 

ich habe f(x) = - (7/5x-2)      g(x)= log(3x+4)

(gof)(x) = log(3(- (7/5x-2)) +4)

Ist das richtig? Muss ich das weiter vereinfachen?

 

f ^-1(y)= ??

Da weiß ich nicht wie ich das x aus dem Nenner hole. Ich habe verschiedene Lösungsansätze...

y = - (7/5x-2)

y *5 = - (7/x-2)    /Jetzt Kehrwert

(1/y*5) = - (x-2/7)    /*7

(7/y*5) = -x-2

Ist das bis hierhin korrekt? Weiß aber auch nicht wie ich das weiter fortführen kann...

Ein anderer Lösungsasatz:

y = - (7/5x-2)     /* (5x-2)

y* (5x-2) = -7

Und dann weiß ich nicht weiter......

Kann mir da jemand helfen?

Answer 1

Die Funktion f ( x ) hast du leider nicht besonders eindeutig hingeschrieben. "Rate mal mit Rosenthal" ergibt, dass du gemeint hast:

$$f(x)=\frac { -7 }{ 5x-2 }$$

Dann:

$$f(x)=\frac { -7 }{ 5x-2 }$$$$g(x)=log(3x+4)$$$$=>(g\circ f)=log(3\left( \frac { -7 }{ 5x-2 }  \right) )+4)$$Dass muss man nicht vereinfachen, aber eine Vereinfachung erleichtert eventuell das spätere Leben:$$=log(\frac { -21 }{ 5x-2 } +4)$$

 

Um die Umkehrfunktion f ^{- 1} ( y ) von f ( x ) zu bestimmen, ersetzt man in

$$f(x)=\frac { -7 }{ 5x-2 }$$f ( x ) durch y und x durch f ^{- 1} ( y ). Man erhält:$$y=\frac { -7 }{ 5f^{ -1 }\left( y \right) -2 }$$und das löst man nun nach f ^{- 1} ( y ) auf.
Zunächst die Gleichung mit dem Nenner multiplizieren::$$\Leftrightarrow y(5f^{ -1 }\left( y \right) -2)=-7$$Dann durch y dividieren:$$\Leftrightarrow 5f^{ -1 }\left( y \right) -2=\frac { -7 }{ y }$$2 addieren$$\Leftrightarrow 5f^{ -1 }\left( y \right) =\frac { -7 }{ y } +2$$und durch 5 dividieren:$$\Leftrightarrow f^{ -1 }\left( y \right) =\frac { -7 }{ 5y } +\frac { 2 }{ 5 }$$