Konvexes Sechseck Problem: Nicht benachbarte Seiten gleich lang?

Question

Aufgabe:

Die Mittelpunkte A, B, C dreier kongruenter Kreise, die keine gemeinsamen Punkte haben, liegen nicht auf derselben Geraden.
Von den Punkten A, B, C werden die sechs in der Abbildung gezeigten Tangenten an die Kreise gelegt, die ein konvexes Sechseck einschließen.

Es ist zu beweisen, dass die Längen von drei paarweise nicht unmittelbar benachbarten Seiten dieses Sechsecks gleich sind, also dass gilt:

|QR| + |ST| + |UP| = |PQ| + |RS| + |TU|

Problem/Ansatz:

Ich habe daran jetzt schon eine ganze Weile geknobelt, bin aber zu keinem befriedigendem Ergebnis gekommen.

Ich bin mir mittlerweile recht sicher, dass das Ganze irgendwas mit Dreiecken und vielleicht auch noch Winkeln zu tun hat, aber komme nicht mehr weiter.

Hilfe wäre wirklich toll, dankeschön :)

Comments

"Die Längen von drei paarweise nicht unmittelbar benachbarten Seiten dieses Sechsecks sind gleich."  und

"|QR| + |ST| + |UP| = |PQ| + |RS| + |TU|"

sind keine äquivalenten Aussagen

---

Wieso denn nicht?

So wie ich das verstanden habe, passt das doch alles?!

---

Es wird sicher gelten:

"Die Längen von drei Paaren gegenüberliegender Seiten dieses Sechsecks sind gleich."

---

"Die Summen der Längen von drei paarweise nicht unmittelbar .... "

---

Oh, ja, stimmt. Aber ja, damit sind die Summen der beiden Seitenpaare gemeint. :)

Sorry für die Verwirrung. ':)

Also:

Es ist zu beweisen, dass die Summen der Längen von jeweils drei paarweise nicht unmittelbar benachbarten Seiten dieses Sechsecks gleich sind, also dass gilt:

|QR| + |ST| + |UP| = |PQ| + |RS| + |TU|

Answer 1

Streckengleicher Farbe sind gleichlang. Außerdem gilt |TJ|=|TK|; |PL|=|PM| und |TK|=|TJ|. Damit gelingt es.

Comments

Hm... Ich glaube, gerade hatte ich es kurz verstanden, wie man dann von dort weitermacht, aber jetzt kriege ich es nicht wieder hin. Kann mir das vielleicht nochmal jemand erklären? Ist irgendwie noch sehr abstrakt gerade in meinem Kopf. Ich verstehe die Idee, aber ganz blicke ich da noch nicht durch.

---

Du brauchst außerdem noch:

S ist Mittelpunkt von KB und AJ

U ist Mittelpunkt von CM und CN

Q ist Mittelpunkt von OA und BL.

Gleichlange Strecken werden mit gleichen Buchstaben benannt:

Wegen der Streckenlängen gleicher Farbe gilt:

|KB|+|CM|+|OA|=|CN|+|AJ|+|BL|   |·1/2

\( \frac{1}{2} \) ·|KB|+\( \frac{1}{2} \) ·|CM|+\( \frac{1}{2} \) ·|OA|=\( \frac{1}{2} \) ·|CN|+\( \frac{1}{2} \) ·|AJ|+\( \frac{1}{2} \) ·|BL|

a+|TS|+b+|UP|+c+|RQ|=c+|SR|+a+|UT|+b+|PQ|   | -(a+b+c)

|TS|+|UP|+|RQ|=|SR|+|UT|+|PQ|

---

Kommentar wurde ergänzt.