Verkettete Funktion mit transponiertem Vektor

Question

Aufgabe:

Gegeben ist g(x,y):R^2->R; g(x,y)=cos(xy)

und h:R->R^2; h(t)= (e^t; t)^T.

Die verketteteFunktion lautet

(d(g o h)*(t)) : dt

diese soll 1) direkt 2) mit Kette berechnet

Problem/Ansatz:

Ich hab da ((-sin(e^t*t)*(e^t)) +

(-sin(e^t*t)*(t)) .. komm da aber auf kein Ergebnis.

Answer 1

Aloha :)

Gegeben sind die Funktionen:$$g(x;y)=\cos(xy)\quad;\quad \vec h(t)=\binom{e^t}{t}$$Ihre Verkettung lautet:$$f(t)\coloneqq g(\vec h(t))=\cos\left(e^tt\right)$$1) Direkte Ableitung:$$f'(t)=\underbrace{-\sin\left(e^{t}t\right)}_{=\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\left(\overbrace{e^t}^{=u'}\cdot\overbrace{t}^{=v}+\overbrace{e^t}^{=u}\cdot\overbrace{1}^{=v'}\right)}_{=\text{innere Abl.}}=-e^t\sin(e^tt)\cdot(t+1)$$

2) Ableitung mit der Kettenregel:$$f'(t)=\frac{d}{dt}g(\vec h(t))=\frac{\partial g}{\partial\vec h}\cdot\frac{d\vec h}{dt}=\operatorname{grad}g(x(t);y(t))\cdot\frac{d\vec h}{dt}=\binom{-\sin(xy)\cdot y}{-\sin(xy)\cdot x}\binom{e^t}{1}$$$$\phantom{f'(t)}=\binom{-\sin(e^tt)t}{-\sin(e^tt)e^t}\binom{e^t}{1}=-\sin(e^tt)te^t-\sin(e^tt)e^t=-e^t\sin(e^tt)\cdot(t+1)$$

Comments

Vielen Dank :)

wenn man für g(x,y) = sin(xy); h(t)= (e^t; t)^T verwenden würde, wie ändert sich das Ergebnis dann?

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In diesem Fall wäre die äußere Ableitung \(\cos(e^tt)\) und die innere Ableitung bliebe ungeändert. Du müsstest also überall \((-\sin(e^tt))\) durch \(\cos(e^tt)\) ersetzen. Dabei musst du sorgfältig auf das Minuszeichen achten.