Zeige: Die Radien von Kp und Kq sind gleich.

Question

C sei ein beliebiger Punkt auf der Strecke AB. K₁ sei ein Kreis um M₁ mit dem Durchmesser AC. K₂ sei ein Kreis um M₂ mit dem Durchmesser CB. s₁ und t₁ seien Tangenten durch A an K₂. s₂ und t₂ seien Tangenten durch B an K₁. K_p sei ein Kreis durch C mit den Tangenten s₁ und t₁ und dem Radius p. K_q sei ein Kreis durch C mit den Tangenten s₂ und t₂ und dem Radius q. Zeige p=q.

Comments

Der Strahlensatz

a / q   =   (2b+a) / (2b - q)   zeigt, dass   q = ab / (a+b)  symmetrisch in a und b ist.

Apropos "Symmetrie" : würdest du mir meine Frage in https://www.mathelounge.de/873950/zeigen-sie-dass-r-eine-aquivalenzrelation-ist?show=874061#c874061 an dich beantworten ?

Answer 1

Hallo Roland,

folgende Lösung ist ähnlich zu der von hj, aber IMHO nicht identisch.

Man findet in der Figur zwei Paare von ähnlichen Drachenvierecken:

Eines der Paare sind die beiden Drachenvierecke \(AQCL\) (hellblau) und \(AFBE\) (grün). Diese sind ähnlich, da sie sich aus ähnlichen Dreiecken zusammen setzen lassen. Folglich sind alle Streckenverhältnisse in beiden Vierecken identisch.

Also auch das Verhältnis des Radius (\(p\) und \(b\)) des Umkreises (\(K_p\) und \(K_2\)) der rechten drei Eckpunkte zur halben horizontalen Diagonalen (\(a\) und \(a+b\)):$$\frac{p}{a}=\frac{b}{a+b} \implies p = \frac{ab}{a+b}$$Und da dieser Tem invariant gegenüber dem Vertauschen von \(a\) und \(b\) ist, gilt das auch für den Radius \(q\).

Der Kreisdurchmesser von \(K_p\) (bzw. \(K_q\)) ist somit das harmonische Mittel der Radien \(a\) und \(b\).

Gruß Werner