Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Geräte defekt sind?

Question

Aufgabe:
In einem Computerladen startet eine große Ausverkaufsaktion. Dabei sollen alle alte und neue Computer verkauft werden. Der Laden besitzt 450 alte Computer und 1550 neue. Das Problem ist, das 12% der Alten und 4% der Neuen defekt sind. Es wird angenommen, dass die Computer zufällig ausgewählt werden, wenn eine Bestellung reinkommt. (Es wird nicht drauf geschaut ob sie beschädigt sind oder nicht). Du bist der erste Kunde seitdem die Aktion verkündet wurde.

  a) Du wirfts eine faire Münze, um zu entscheiden ob du einen neuen oder einen alten Computer kaufts. Dann bestellst du
        zwei von diesen Typen, basierend auf das Ergebnis des Münzwurfs.
      Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Geräte defekt sind?
  b) Es sei gegeben, dass beide Computer defekt sind.
      Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass es alte Computer sind?


Ansatz:
a) \(\frac{1}{2}*0.12^2 + \frac{1}{2}*0.04^2 = 0.008\)
b) \(\frac{\frac{1}{2}*0.12^2}{\frac{1}{2}*0.12^2 + \frac{1}{2}*0.04^2} = \frac{0.12^2}{0.12^2+0.04^2} = 0.9\)

Frage:
Stimmen meine Ansätze?
Vor allem bei der Unteraufgabe \(b)\) bin ich mir ziehmlich unsicher, ob meine Herangehensweise die richtige war.

Answer 1

Ich glaube bei a rechnet man :

P(beide alte Computer sind kaputt) + P(beide neue sind kaputt) =

1/2*54/450*53/449+1/2*62/1550*61/1549=177/22450+61/77450=150781/17387525=

0,00867…=0,867…%

Bei b rechnet man vielleicht

54/116*53/115=0,2145=21,45% Prozent

Aber bei b bin ich mir auch nicht sicher, ich weiß auch nicht, ob da der Münzwurf berücksichtigt wird, aber ich glaube nicht, dass es so wahrscheinlich ist, wie du es bei b ausgerechnet hast.

Answer 2

Für a) hat aki57 schon eine Antwort gegeben.

Für b) schlage ich eine Vierfeldertafel vor:

	beide defekt	Gegenwahrscheinlichkeit
alte Computer	(54/450*53/449)*450	(1 - 54/450*53/449)*450	450
neue Computer	(62/1550*61/1549)*1550	(1 - 62/1550*61/1549)*1550	1550
Total	8,816...	1991,184...	2000

Answer 3

a) Du wirfst eine faire Münze, um zu entscheiden, ob du einen neuen oder einen alten Computer kaufst. Dann bestellst du zwei von diesen Typen, basierend auf das Ergebnis des Münzwurfs. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Geräte defekt sind?

Exakte Berechnung
P = 0.5·54/450·53/449 + 0.5·62/1550·61/1549 ≈ 0.007870

Näherung über die Binomialverteilung
P = 0.5·0.12·0.12 + 0.5·0.04·0.04 = 1/125 = 0.008

b) Es sei gegeben, dass beide Computer defekt sind. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass es alte Computer sind?

Exakte Berechnung
P = (0.5·54/450·53/449) / (0.5·54/450·53/449 + 0.5·62/1550·61/1549) ≈ 0.8999

Näherung über die Binomialverteilung
P = (0.5·0.12·0.12) / (0.5·0.12·0.12 + 0.5·0.04·0.04) = 9/10 = 0.9