Mittels einer Funktion f : ℝ^2 → ℝ wird eine Relation ~ auf ℝ definiert gemäß
a ~ b ⇔ f(a,b) = f(b,a)
Es stellt sich nun die Frage, ob ~ eine Äquivalenzrelation ist.
Für die Funktion f mit f(x,y) = (x^2+2)*(y+1) ist das der Fall und soll in https://www.mathelounge.de/873950/zeigen-sie-dass-r-eine-aquivalenzrelation-ist?show=874061#c874061 nachgewiesen werden. Roland schreibt dort, dass das aus Symmetriegründen klar sei, ohne das jedoch (auch auf mehrfache Nachfrage hin nicht) zu begründen.
Die Reflexivität und Symmetrie von ~ ist tatsächlich trivial, aber die Transitivität erschließt sich mir nicht sofort. Entweder hat R ein gutes Argument vorenthalten oder er hat sich geirrt.
Um zu zeigen, dass ~ nicht automatisch transitiv ist versuchte ich, ein Gegenbeispiel zu finden :
f(x,y) = x*sin(y) + y und (die Zahlenwerte sind im Folgenden leicht gerundet)
a = 4,46696 , b = 4,036714 , c = 0,739453
Tatsächlich ist a~b wegen a*sin(b)+b = 0,55121 und b*sin(a)+a = 0,55121
sowie b~c wegen b*sin(c)+c = 3,45973 und c*sin(b)+b = 3,45973
a, b und c waren so ausgesucht, dass diese Gleichungen erfüllt sind, aber zu meiner völligen Überraschung gilt auch a*sin(c)+c = 3,749665 und c*sin(a)+a = 3,79665 , also a~c.
Zweiter Versuch : f(x,y) = x*cos^2(y)+y
Hier ist 3~0 und 0~2 aber 3~2 ist falsch.
Jetzt kommt endlich meine Frage :
Wie lassen sich diejenigen Funktionen f charakterisieren, für die ~ transitiv ist ?
Ich kenne die Antwort nicht.
