Maria, die Urne und die Murmeln

Question

Aufgabe:
Es sind zwei Urnen gegeben. In der ersten Urne befinden sich 15 weiße und 12 schwarze Murmeln. In der zweiten Urne befinden sich hingegen 14 weiße und 18 schwarze Murmeln. Maria führt nun einen experiment durch. Sie nimmt zwei Murmeln auf einmal aus der ersten Urne und verschiebt sie in die Zweite. Dann nimmt sie aus der zweiten Urne ohne hinzusehen eine Murmel.

a) Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie eine weiße Murmel aus der zweiten Urne zieht?
b) Es ist bekannt, dass sie aus der zweiten Urne eine schwarze Murmel gezogen hat. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass
    Maria davor zwei Murmeln unterschiedlicher Farbe von der ersten Urne in die zweite Urne verschoben hat?

Ansatz:
a) Nach der Verschiebung kann die zweite Urne folgendermaßen ausschauen:

  16 weiße und 18 schwarze Murmeln, \(\frac{16}{34}\) (Wahrscheinlichkeit ein weiße Murmel aus der zweiten Urne zu ziehen)
  15 weiße und 19 schwarze Murmeln, \(\frac{15}{34}\) (Wahrscheinlichkeit ein weiße Murmel aus der zweiten Urne zu ziehen)
  14 weiße und 20 schwarze Murmeln, \(\frac{14}{34}\) (Wahrscheinlichkeit ein weiße Murmel aus der zweiten Urne zu ziehen)

Wahrscheinlichkeit eine weiße Murmel zu ziehen: \(\frac{16}{34}*\frac{\binom{15}{2}}{\binom{27}{2}} + \frac{15}{34}*\frac{15*12}{\binom{27}{2}} + \frac{14}{34}*\frac{\binom{12}{2}}{\binom{27}{2}} = \frac{4}{9}\)

b) \(A\) ... zwei Murmeln unterschiedlicher Farbe werden von der ersten Urne in dei zweite Urne verschoben.
  \(B\) ... die Murmel die aus der zweiten Urne gezogen wurde ist schwarz
\(P(A) = \frac{20}{39}\)
\(P(B) = \frac{5}{9}\)
\(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A) * P(A)}{P(B)} = \frac{\frac{19}{34}*\frac{20}{39}}{\frac{5}{9}} = \frac{114}{221} \)

Frage:
Ist meie Herangehensweise die Richtige oder habe ich mich irgendwo vertan?
Vor allem bei Unteraufgabe \(b)\) habe ich Zweifel ob ich richtig gerechnet habe.

Answer 1

a) ist richtig.

b) ist prinzipiell auch richtig, ich weiß aber nicht, wo du die \(\frac{19}{34}\) hergenommen hast.

Comments

Danke für die schnelle Antwort.

\(\frac{19}{34} = P(B|A)\), aslo die Wahrscheinlichkeit, dass die Murmel die aus der zweiten Urne genommen wird schwarz ist, wenn bekannt ist, dass zwei unterschiedlichfarbige Murmeln von der ersten Urne in die Zweite verschoben wurden.

Diese berechnet man durch \(P(B|A) = 1 - \frac{15}{34}\). Wobei \(\frac{15}{34}\) (Wahrscheinlichkeit ein weiße Murmel aus der zweiten Urne zu ziehen wenn zwei unterschiedlichfarbige Murmeln verschoben wurden).

Stimmt also meine Berechnung?

Answer 2

Aloha :)

Urne 1: 15 weiße + 12 schwarze Murmeln

Urne 2: 14 weiße + 18 schwarze Murmeln

In einer ersten Aktion nummt Maria 2 Kugeln aus Urne 1 und legt sie in Urne 2. Wir überlegen uns daher zunächst, wie viele Kugeln wir nach dieser Aktion mit welcher Wahrscheinlichlkeit in Urne 2 haben.

1. Fall: Maria zieht 2 weiße Murmeln aus Urne 1

\(\implies\) in Urne 2 sind nun 16 weiße und 18 schwarze Murmeln.

Dieser Fall tritt mit der Wahrscheinlichkeit \(\frac{15}{27}\cdot\frac{14}{26}=\frac{35}{117}\) ein.

2. Fall: Maria zieht 2 schwarze Murmeln aus Urne 1

\(\implies\) in Urne 2 sind nun 14 weiße und 20 schwarze Murmeln.

Dieser Fall tritt mit der Wahrscheinlichkeit \(\frac{12}{27}\cdot\frac{11}{26}=\frac{22}{117}\) ein.

3. Fall: Maria zieht 1 weiße und eine schwarze Murmel aus Urne 1

\(\implies\) in Urne 2 sind nun 15 weiße und 19 schwarze Murmeln.

Dieser Fall tritt mit der Wahrscheinlichkeit \(1-\frac{35}{117}-\frac{22}{117}=\frac{60}{117}\) ein.

Wir fassen die Situation in Urne 2 nach der ersten Ziehung zusammen:$$P_1(16W+18S)=\frac{35}{117}\quad;\quad P_1(14W+20S)=\frac{22}{117}\quad;\quad P_1(15W+19S)=\frac{60}{117}$$

zu a) Nun zieht Maria aus Urne 2 eine Murmel. Die Wahrscheinlichkeit, dass diese Murmel weiß ist müssen wir aus den gerade ermittelten 3 Fällen kombinieren:$$P_a=\frac{35}{117}\cdot\frac{16}{34}+\frac{22}{117}\cdot\frac{14}{34}+\frac{60}{117}\cdot\frac{15}{34}=\frac{1768}{3978}=\frac49$$

zu b) Maria hat (mindestens) eine schwarze Murmel aus Urne 1 gezogen. Es ist also entweder der 2. oder der 3.Fall von oben eingetreten. Unter dieser Voraussetzung ist die Wahrscheinlichkeit, dass Maria genau 1 weiße Murmel und genau 1 schwarze Murmel gezogen hat, dass also der 3. Fall eingetreten ist:$$P_b=\frac{\frac{60}{117}}{\frac{22}{117}+\frac{60}{117}}=\frac{60}{82}=\frac{30}{41}$$

Mit anderen Worten, dein Ergebnis für (a) ist korrekt, bei (b) hast du dich irgendwie verirrt.