Urne mit 8 roten und 2 schwarzen Murmeln

Question

Aufgabe
Es gibt eine Urne mit 8 roten und 2 schwarzen Murmeln. John nimmt \(n\) Murmeln auf einmal aus der Urne. Welche ist die minimale Anzahl an Murmeln, die er aus der Urne nehmen muss, damit die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine dieser Murmeln schwarz ist, \(\frac{2}{3}\) beträgt?


Ich sitzte jetzt schon eine Weile an dieser Aufgabe, doch ich komme nicht weiter. Kann mir jemand einen Tipp oder einen Lösungsansatz geben?

Answer 1

P(mind eine schwarz) = 1 - P(keine schwarz) = n·(19 - n)/90

Dann ist ab n = 4 die Wahrscheinlichkeit größer oder gleich 2/3

Answer 2

Ich sitzte jetzt schon eine Weile

Das ist die falsche Herangehensweise.

Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Erhalten mindestens einer schwarzen Murmel, wenn man

- nur eine Murmel entnimmt

- genau 2 Murmeln entnimmt

- genau 3 Murmeln entnimmt

...usw.

- genau 7 Murmeln entnimmt.

Mit ziemlicher Sicherheit musst du die letzten Rechnungen gar nicht mehr durchführen, weil schon vorher ein Ergbnis >2/3 entsteht.

Letzter Tipp: "Mindestens eine Murmel" ist das Gegenereignis von "keine Murmel".

Answer 3

P(X>=1) = 1-P(X=0)

1- 8/10*7/9* ... = 2/3

Durch Probieren kommt man auf n=4