Versuche es nicht mit Formeln, wenn du nicht verstehst, was diese Formeln bedeuten. Benutze deinen Verstand, gerade bei solch einfachen Beispielen!
Zur Zufallsvariable X :
X ist die Zahl des Zuges, in dem die zweite rote Kugel gezogen wird. Da viermal gezogen wird, kann x grundsätzlich die Werte 1, 2, 3, 4 annehmen. Man muss nun schauen, unter welchen Umständen X einen dieser vier Werte annimmt.
Also:
Unter welchen Umständen ist X = 1?
Nun, das ist genau dann der Fall, wenn im ersten Zug die zweite rote Kugel gezogen wird. Das ist natürlich unmöglich, denn im ersten Zug kann höchstens die erste rote Kugel gezogen werden, niemal saber bereits die zweite. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X den Wert 1 annimmt ist also 0, geschrieben als:
P ( X = 1 ) = 0
Unter welchen Umständen ist X = 2 ?
Nun, das ist genau dann der Fall, wenn im ersten Zug eine rote Kugel gezogen wird und im zweiten Zug auch.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im ersten Zug eine rote Kugel gezogen wird, ist 2 / 4 , denn 2 der 4 Kugeln sind rot. Nachdem nun eine rote Kugel gezogen wurde, sind noch zwei schwarze und eine rote Kugel in der Urne, sodass also die Wahrscheinlichkeit, im zweiten Zug wieder eine rote Kugel zu ziehen, gleich 1 / 3 ist.
Die Wahrscheinlichkeit, dass im zweiten Zug die zweite rote Kugel gezogen wird, ist also:
( 2 / 4 ) * ( 1 / 3 ) = 2 / 12 = 1 / 6
und somit ist
P ( X = 2 ) = 1 / 6
Unter welchen Umständen ist X = 3 ?
Nun, das ist genau dann der Fall, wenn
(im ersten Zug eine rote und im zweiten Zug eine schwarze oder im ersten Zug eine schwarze und im zweiten Zug eine rote Kugel gezogen wird ) und im dritten Zug eine rote Kugel gezogen wird.
Die Wahrscheinlichkeit dafür ist:
( ( 2 / 4 ) * ( 2 / 3 ) + ( 2 / 4 ) * ( 2 / 3 ) ) * ( 1 / 2 ) = 1 / 3
und somit ist
P ( X = 3 ) = 1 / 3
Unter welchen Umständen ist X = 4 ?
Nun, das ist genau dann der Fall, wenn die zweite rote Kugel weder im ersten noch im zweiten noch im dritten Zug gezogen wurde. Dann nämlich muss sie als letzte in der Urne verblieben sein und wird mit Sicherheit im vierten Zug gezogen.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die zweite rote Kugel weder im ersten noch im zweiten noch im dritten Zug gezogen wird, ist:
1 - ( 1 / 6 ) - ( 1 / 3 ) = 1 / 2
und somit ist
P ( x = 4 ) = 1 / 2
Zur Kontrolle kann man die Summe der Wahrscheinlichkeiten bilden, diese muss 1 sein. Da aber im vierten Schritt die Wahrcheinlichkeit gerade dadurch bestimmt wurde, dass die Differenz zwischen 1 und den anderen Wahrscheinlichkeiten gebildet wurde, ist diese Probe nicht aussagekräftig.
Zur Zufallsvariable Y :
Y ist die Anzahl der schwarzen Kugeln, die in den ersten drei Zügen gezogen werden. Da es nur zwei nicht-schwarze Kugeln gibt (nämlich 2 rote) muss bei drei Zügen mindestens eine schwarze Kugel gezogen werden. Da es aber nur zwei schwarze Kugeln gibt, können in drei Zügen auch höchstens nur 2 schwarze Kugeln gezogen werden.
Y kann somit nur die Werte 1 oder 2 annehmen.
Unter welchen Umständen ist Y = 1 ?
Nun, das ist dann der Fall, wenn unter den ersten drei gezogenen Kugeln genau eine schwarze ist. Das ist bei folgenden Zugergebnissen der Fall:
RRS oder RSR oder SRR
Man überlege sich, dass gilt:
P ( RRS ) = ( 2 / 4 ) * ( 1 / 3 ) * 1 = 1 / 6
P ( RSR) = ( 2 / 4 ) * ( 2 / 3 ) * ( 1 / 2 ) = 1 / 6
P ( SRR) = ( 2 / 4 ) * ( 2 / 3 ) * ( 1 / 2 ) = 1 / 6
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ersten drei gezogenen Kuglen eine genau eine schwarze ist, ist also:
P ( RRS ) + P ( RSR ) + P ( SRR ) = ( 1 / 6 ) + ( 1 / 6 ) + ( 1 / 6 ) = 1 / 2
Somit ist
P ( Y = 1 ) = 1 / 2
Unter welchen Umständen ist Y = 2 ?
Nun, das ist dann der Fall, wenn unter den ersten drei gezogenen Kugeln genau zwei schwarze sind. Das ist bei folgenden Zugergebnissen der Fall:
RSS oder SRS oder SSR
Man überlege sich, dass gilt:
P ( RSS ) = ( 2 / 4 ) * ( 2 / 3 ) * ( 1 / 2 ) = 1 / 6
P ( SRS) = ( 2 / 4 ) * ( 2 / 3 ) * ( 1 / 2 ) = 1 / 6
P ( SSR) = ( 2 / 4 ) * ( 1 / 3 ) * 1 = 1 / 6
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ersten drei gezogenen Kuglen eine genau zwei schwarze sind, ist also:
P ( RSS ) + P ( SRS ) + P ( SSR ) = ( 1 / 6 ) + ( 1 / 6 ) + ( 1 / 6 ) = 1 / 2
Somit ist
P ( Y = 2 ) = 1 / 2
Hier kann man nun sinnvoll die Summenprobe machen und stellt fest:
P ( Y = 1 ) + P ( Y = 2 ) = ( 1 / 2 ) + ( 1 / 2 ) = 1
Sieht also gut aus!
