Tschebyscheff-Ungleichung (Anzahl von Sitzplätzen, damit zu 95% alle einen Platz erhalten)

Question

Ich habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht so ganz weiß wie ich vorgehen und ich sie lösen soll:

In einem Ort gebe es zwei Kinos, deren Vorstellungen von insgesamt 1000 Leuten besucht werden. Jeder Besucher entscheidet sich mit gleicher Wahrscheinlichkeit für eines der Kinos.
Sei \(X\) die Zufallsvariable, die die Anzahl der Besucher in Kino 1 angibt.

Geben Sie mit Hilfe der Tschebyscheff-Ungleichung eine Abschätzung für die Zahl der Sitzplätze, die Kino 1 mindestens haben muss, damit mit 95%iger Wahrscheinlichkeit alle Besucher einen Platz bekommen.

Damit ergibt sich ja \(X\sim \text{Bin}\left(1000, \frac{1}{2}\right)\) und somit \(\mathbb E (X)=500\) und \(\text{Var}(X)=250\).

Die Tschebyscheff-Ungleichung lautet

$$P(|X-\mathbb E(X)|\geq \epsilon)\leq \frac{\text{Var(X)}}{\epsilon^2}$$

Für weitere Schritte bräuchte ich Hilfe! Ich denke hier soll \(\epsilon\) berechnet werden, jedoch erhalte ich dafür Werte, die nicht mit dem vorgegebenen Ergebnis übereinstimmen...

Answer 1

Hallo,

ich schreibe mal E für den Erwartungswert, V für die Varianz. Für die gesuchte Anzahl an Sitzen schreibe ich: E+h.

Dann ist h so zu bestimmen, dass \(P(X \geq E+h) \leq 0.05\). Der Schlüssel zur Anwendung der T-Ungleichung ist, dass die Verteilung von X symmetrisch zum Erwartungswert ist, also

$$P(X-E \geq h)=P(X-E \leq -h)$$

Daher:

$$P(X-E \geq h)=0.5P (|X-E| \geq h) \leq 0.5 \frac{V}{h^2} \leq 0.05 !$$

Dafür muss gelten : \(h \geq 50\). Also braucht man 550 Sitze.

Gruß Mathhilf