Welchen Wert hat die zweite Ableitung im Punkt A?

Question

Aufgabe:

Die folgende Grafik zeigt drei kritische Punkte der Funktion \( f(x) \) bzw. ihrer Ableitung \( f^{\prime \prime}(x) \). Die Funktion ist gegeben durch:
\( f(x)=-0.39 x^{3}+1.89 x^{2}+1.04 x+0.81 \)

Welchen Wert hat die zweite Ableitung \( f^{\prime \prime}(x) \) im Punkt A?

Answer 1

f(x) = - 0.39·x^3 + 1.89·x^2 + 1.04·x + 0.81

f'(x) = - 1.17·x^2 + 3.78·x + 1.04 = 0 --> x = 21/13 - √5321/39

f''(x) = 3.78 - 2.34·x

f''(21/13 - √5321/39) = 3/50·√5321 = 4.377

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$f(x)=-0,39x^3+1,89x^2+1,04x+0,81$$

Punkt \(A\) ist ein Extremum der Funktion. Alle Kandidaten (gemeint sind mögliche \(x\)-Werte) für ein Extremum machen die erste Ableitung zu Null. Wir schauen daher zuerst, für welche \(x\)-Werte die erste Ableitung verschwindet:$$\left.f'(x)\stackrel!=0\quad\right|\text{Ableitung bilden und einsetzen}$$$$\left.-1,17x^2+3,78x+1,04=0\quad\right|\colon(-1,17)$$$$\left.x^2-\frac{3,78}{1,17}x-\frac{1,04}{1,17}=0\quad\right|\text{Brüche mit \(100\) erweitern.}$$$$\left.x^2-\frac{378}{117}x-\frac{104}{117}=0\quad\right|\text{Brüche in Faktoren zerlegen und kürzen.}$$$$\left.x^2-\frac{\cancel9\cdot42}{\cancel9\cdot13}x-\frac{8\cdot\cancel{13}}{9\cdot\cancel{13}}=0\quad\right|\text{pq-Formel}$$$$x_{1;2}=\frac{21}{13}\pm\sqrt{\left(\frac{21}{13}\right)^2+\frac89}=\frac{21}{13}\pm\sqrt{\frac{441}{169}+\frac89}=\frac{21}{13}\pm\sqrt{\frac{5321}{1521}}$$Den Bruch unter der Wurzel kann man leider nicht kürzen. Wir haben daher:$$x_1\approx-0,255005\quad;\quad x_2\approx3,485774$$Wir haben also zwei Kandidaten für Extrema gefunden, passend zum Minimum \(A\) und zum Maximum \(C\).

Gesucht ist nun die zweite Ableitung an der Stelle \(x_1\):$$f''(x_1)=-2,34x_1+3,78\approx4,376712$$