Question

Berechne ob der Punkt C(4|0|11) auf der Ebene x= (3,0,2) + s(2,1,7) + t(3,2,5) liegt.

Problem/Ansatz:

Ich weiß eigentlich, dass man den Punkt mit der Ebene gleichsetzten soll, jedoch weiß ich nicht wie man das LGS ausrechnet. Bei mir kommt immer was falsches raus.

Lösung ist: s=2 und t= -1

Answer 1

(I):   4 = 3 + 2s + 3t

(II):   0 = 0 + 1s + 2t

(III):   11 = 2 + 7s + 5t

(II) s = -2t in (I) eingesetzt:

4 = 3 - 4t + 3t

t = -1

aus (II) wird dann s = -2t = 2

Diese Lösung in (III) eingesetzt, ergibt 11 = 11.

Das Gleichungssystem ist lösbar, der Punkt liegt also auf der Ebene.

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wenn der Punkt \(C\) in der Ebene liegen soll, musst es ein \(s\) und ein \(t\) als Lösung des folgenden Gleichungssystems geben:$$\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\1\\7\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\2\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\11\end{pmatrix}\quad\Longleftrightarrow\quad s\begin{pmatrix}2\\1\\7\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\2\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\9\end{pmatrix}$$Wir haben hier drei Gleichungen, aber nur zwei Unbekannte. Wir suchen uns daher 2 Gleichungen aus, lösen damit das Gleichungssystem und prüfen am Ende, ob die Lösung auch die dritte Gleichung erfüllt. Wir wählen die erste und die zweite Gleichung:

$$\begin{array}{rr|r|l}s & t & {=} & \text{Aktion}\\\hline2 & 3 & 1 & -2\cdot\text{Zeile 2}\\1 & 2 & 0\\\hline0 & -1 & 1 &\cdot(-1)\\1 & 2 & 0 &+2\cdot\text{Zeile 1}\\\hline0 & 1 & -1 &\\1 & 0 & 2 &\\\hline\end{array}$$Wir lesen als Lösung \(s=2\) und \(t=-1\) ab.

Jetzt fehlt noch die alles entscheidende Prüfung, ob damit auch die dritte Gleichung gilt:$$7\cdot s+5\cdot t=14-5=9\quad\checkmark$$

Tschaka, also liegt der Punkt \(C\) in der Ebene ;)