Berechne die Nullstellen von Funktion (Tangente, Funktionen, Ableitung)

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)=-1/2x³+3/2x

a) Berechne die Nullstellen von f.

b) Ermittle die Punkte P1(-2/..), P2(0/..) und P3(2/..) des Graphen, sowie die Tangentensteigungen in diesen Punkten

Problem/Ansatz:

Finde die Nullstellen von f nicht raus. kann mir die aufgaben jemand lösen? die anderen Punkte habe ich bereits P1(-2/1, P2(0/0) P3(2/-1) aber die T-Steigung checke ich nicht. Danke im voraus

Answer 1

Aloha :)

Du kannst die Funktionsgleichung faktorisieren:$$f(x)=-\frac12x^3+\frac32x=-\frac12\left(x^3-3x\right)=-\frac12x(x^2-3)=-\frac x2(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)$$und dann die drei Nullstellen ablesen:$$x_1=-\sqrt3\quad;\quad x_2=0\quad;\quad x_3=\sqrt3$$

Die Funktionswerte hast du richtig bestimmt.

Jetzt musst du nur noch die erste Ableitung$$f'(x)=-\frac32x^2+\frac32=-\frac32\left(x^2-1\right)$$an den gegebenen Punkten bestimmen:$$f'(-2)=-\frac92\quad;\quad f'(0)=\frac32\quad;\quad f'(2)=-\frac92$$

Answer 2

Du kannst -1/2x ausklammern, dann ist der erste oder der zweite Faktor des Produkts gleich null,

d.h. -1/2x = 0 d.h. x = 0

oder x² - 3 = 0 d.h. x = ± \( \sqrt{3} \)