Gleichung für die Tangente an den Graphen im Punkt (0, f(0)). a) ℝ→ℝ, f(x)= (x^2-x+2)exp(x).

Question

Bestimmen Sie eine Gleichung für die Tangente an den Graphen im Punkt (0, f(0)).

a) ℝ→ℝ, f(x)= (x²-x+2)exp(x).

b) ℝ→ℝ, f(x)= (sin(x)+1) / (exp(x)+1)

Answer 1

Bei beiden Aufgaben: Die Steigung der Tangenten im Berührpunkt mit f ( x ) muss gleich der Steigung von f ( x ) an der Stelle x sein. Also f ( x ) ableiten und Steigung an der Stelle x = 0 ermitteln. Dies ist die Steigung der Tangente.

Den y-Achsenabschnitt erhält man, indem man f ( 0 ) berechnet.

Die Tangentengleichung lautet dann:

t ( x ) = f ' ( 0 ) * x + f ( 0 ) 

Also:

a)

f ( x ) = ( x ² - x + 2 ) exp ( x )

f ' ( x ) = ( 2 x - 1 ) * exp ( x ) + ( x ² - x + 2 ) exp(x)

= exp ( x ) * ( 2 x - 1 + x ² - x + 2 )

= exp ( x ) ( x ² + x + 1 )

=> f ' ( 0 ) = 1 * 1 = 1

f ( 0 ) = 2 * 1 = 2

Also Tangentengleichung:

t ( x ) = 1 * x + 2

 

b)

f ( x ) = sin( x ) +1 / exp( x ) + 1

Bitte verwende Klammern, um eindeutig klarzustellen, was im Zähler un was im Nenner stehen soll.

 

EDIT: Laut Kommentar soll die Funktion f ( x ) so aussehen:

 

$$f(x)=\frac { sin(x)+1 }{ { e }^{ x }+1 }$$

Die Ableitung ist dann:

$$f'(x)= \frac { cos(x)*{ (e }^{ x }+1)-(sin(x)+1)*{ e }^{ x } }{ { \left( { e }^{ x }+1 \right)  }^{ 2 } }$$

An der Stelle x = 0 gilt:

$$f(0)=\frac { 1 }{ 2 }$$

$$f'(0)=\frac { 1*2-1*1 }{ { 2 }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 4 }$$

Also Tangentengleichung:

$$t(x)=\frac { 1 }{ 4 } x+\frac { 1 }{ 2 }$$

Comments

Danke für die schnelle Antwort.. b) f(x) = (sin(x)+1) / (exp(x)+1)

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Ok, ich habe meine Antwort entsprechend editiert.