Bei beiden Aufgaben: Die Steigung der Tangenten im Berührpunkt mit f ( x ) muss gleich der Steigung von f ( x ) an der Stelle x sein. Also f ( x ) ableiten und Steigung an der Stelle x = 0 ermitteln. Dies ist die Steigung der Tangente.
Den y-Achsenabschnitt erhält man, indem man f ( 0 ) berechnet.
Die Tangentengleichung lautet dann:
t ( x ) = f ' ( 0 ) * x + f ( 0 )
Also:
a)
f ( x ) = ( x 2 - x + 2 ) exp ( x )
f ' ( x ) = ( 2 x - 1 ) * exp ( x ) + ( x 2 - x + 2 ) exp(x)
= exp ( x ) * ( 2 x - 1 + x 2 - x + 2 )
= exp ( x ) ( x 2 + x + 1 )
=> f ' ( 0 ) = 1 * 1 = 1
f ( 0 ) = 2 * 1 = 2
Also Tangentengleichung:
t ( x ) = 1 * x + 2
b)
f ( x ) = sin( x ) +1 / exp( x ) + 1
Bitte verwende Klammern, um eindeutig klarzustellen, was im Zähler un was im Nenner stehen soll.
EDIT: Laut Kommentar soll die Funktion f ( x ) so aussehen:
$$f(x)=\frac { sin(x)+1 }{ { e }^{ x }+1 }$$
Die Ableitung ist dann:
$$f'(x)= \frac { cos(x)*{ (e }^{ x }+1)-(sin(x)+1)*{ e }^{ x } }{ { \left( { e }^{ x }+1 \right) }^{ 2 } }$$
An der Stelle x = 0 gilt:
$$f(0)=\frac { 1 }{ 2 }$$
$$f'(0)=\frac { 1*2-1*1 }{ { 2 }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 4 }$$
Also Tangentengleichung:
$$t(x)=\frac { 1 }{ 4 } x+\frac { 1 }{ 2 }$$
