Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass während eines Jahres genau zwei bzw mindestens zwei Elemente ausfallen?

Question

Aufgabe:

Allgemeine Wahrscheinlichkeiten

Hallo, die Aufgabe lautet wie folgt:

Ein Funkgerät bestehe aus 1000 Elementen. Die Wahrscheinlichkeit für den Ausfall eines Elementes im Verlaufe eines Arbeitsjahres betrage 0.001 und hänge nicht vom Zustand der anderen Elemente ab. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass während eines Jahres genau zwei bzw. mindestens zwei Elemente ausfallen?

Ich würde hier (1-(0.001))^98*0.001*0.001 rechnen.

Die Lösung sagt aber 1/(2e), könnte mich jemand aufklären?

Comments

Die Lösung sagt aber 1/(2e)

Wie Du meinen? Eine Wahrscheinlichkeit ist ja eine Zahl...

Answer 1

Für genau zwei Elemente ist die Wahrscheinlichkeit etwa 18 %:

Comments

Für mindestens zwei Elemente ist es etwa 26 %:

was man auch als Gegenwahrscheinlichkeit zu "kein oder 1 Element" ausrechnen kann:

Answer 2

Aloha :)

Ja, hier hilft die Binomialverteilung weiter:$$n=1000\quad;\quad p=\frac1{1000}$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau \(k=2\) Geräte ausfallen ist:

$$p(2)=\binom{1000}{2}\cdot\left(\frac1{1000}\right)^2\cdot\left(\frac{999}{1000}\right)^{998}\approx0,1840$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens \(2\) Geräte ausfallen ist:

$$p(\ge2)=1-p(0)-p(1)$$$$\phantom{p(\ge2)}=1-\left(\frac{999}{1000}\right)^{1000}-\binom{1000}{1}\cdot\left(\frac1{1000}\right)^1\cdot\left(\frac{999}{1000}\right)^{999}\approx0,2642$$