Hallo Zusammen,
kaum hat das Semester begonnen und Mathe bringt mich schon zum verzweifeln:(
Ich habe eine Frage bezüglich der Definitionen von Vereinigung und Durchschnitt in der Mengenlehre (Anhang).
Soweit ich weiß ist I nur eine Indexmenge, deren einziger Zweck es ist, die Werte i, für die Bezeichnung unterschiedlicher Teilmengen Xi von X zusammenzufassen. So weit so gut.
Wenn ich nun die Vereinigung der Teilmengen Ui betrachte:
was ist x? und wenn x einfach nur irgend ein Element in X ist, wieso kann man das mit der Vereinigung der Teilmengen gleichsetzen.
Und wieso gibt es nur eine Teilmenge Ui die dieses x enthält?
Ich wäre über jede Hilfe sehr dankbar:-)
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Kapitel I: Mengen und Funktionen
Version vom 18.10.2021
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Definition 1.1.5. Es seien \( X \) und \( I \) Mengen und es seien für alle \( i \in I \) Teilmengen \( X_{i} \subseteq X \) gegeben. Dann heißt
\( \bigcup_{i \in I} X_{i}:=\left\{x \in X: \text { Es existiert ein } i \in I \text { mit } x \in X_{i}\right\} \)
die Vereinigung der Mengen \( X_{i}, i \in I \) und
\( \bigcap_{i \in I} X_{i}:=\left\{x \in X: \text { Für alle } i \in I \text { gilt } x \in X_{i}\right\} \)
der Durchschnitt der Mengen \( X_{i}, i \in I \).
Lemma 1.1.6. Es seien \( X \) und \( I \) Mengen, \( X_{i} \subseteq X \) für \( i \in I \), dann gilt:
\( \begin{array}{l} X \backslash\left(\bigcap_{i \in I} X_{i}\right)=\bigcup_{i \in I}\left(X \backslash X_{i}\right) \\ X \backslash\left(\bigcup_{i \in I} X_{i}\right)=\bigcap_{i \in I}\left(X \backslash X_{i}\right) \end{array} \)
Beweis. Zum Beweis von (1.1.1):
\( „ \subseteq ": \) Ist \( x \in X \backslash\left(\bigcap_{i \in I} X_{i}\right) \), so gibt es (mindestens) ein \( j \in I \) mit \( x \notin X_{j} \), also \( x \in X \backslash X_{j} \) und daher \( x \in \bigcup_{i \in I}\left(X \backslash X_{i}\right) \), dh. \( X \backslash\left(\bigcap_{i \in I} X_{i}\right) \subseteq \bigcup_{i \in I}\left(X \backslash X_{i}\right) \)
„ ": Für \( x \in \bigcup_{i \in I}\left(X \backslash X_{i}\right) \) gibt es \( j \in I \) mit \( x \in X \backslash X_{j} \), also ist \( x \notin \bigcap_{i \in I} X_{i} \), dh. \( \bigcup_{i \in I}\left(X \backslash X_{i}\right) \subseteq \)
