> Ich weiß nicht, ob man diese Aufgabe mit einer Induktion ausrechnen muss
Das wird nicht zum Ziel führen, weil die Indexmenge I auch überabzählbar sein darf.
> oder eine andere Methode anwenden sollte?
Die Aufgabe ist nicht, eine vorgegebenen Aussage zu beweisen. Es ist ja noch gar nicht klar, ob die Aussage ∩i∈I Mi ≠ ∅ stimmt oder nicht. Erst wenn du dir darüber im klaren bist, kannst du dich auf die Suche nach einer Methoe begeben, die Aussage zu beweisen oder zu widerlegen.
Tipp. Die Aussage gilt nicht und es genügen drei zweielementige Mengen als Gegenbeispiel. Finde drei zweielementige Mengen M1, M2 und M3, so dass
M1 ∩ M2 ≠ ∅, M1 ∩ M3 ≠ ∅ und M2 ∩ M3 ≠ ∅
aber
M1 ∩ M2 ∩ M3 = ∅.
Es reicht sogar, wenn diese Mengen Teilmengen der natürlichen Zahlen sind.