Aloha :)
Um Indizes beim Tippen zu sparen, verwende ich im Folgenden \(x\) und \(y\) als Variablen.$$\text{Produktionsfunktion: }P(x;y)=3x^{0,6}y^{0,4}\stackrel!=100$$$$\text{Kostenfunktion: }\qquad \;K(x;y)=5x+100y$$
zu a) Minimiere \(K\), wenn \(x=100\) vorgegeben ist.
Hier ist nichts zu optimieren, denn durch die Produktionsmenge ist \(y\) eindeutig bestimmt:$$100=3x^{0,6}y^{0,4}=3\cdot100^{0,6}\cdot y^{0,4}\implies y=\left(\frac{100}{3\cdot100^{0,6}}\right)^{2,5}\approx6,415003$$Die (minimalen) Kosten betragen daher:$$K_{\text{min}}=5\cdot100+100\cdot6,415003=1\,141,50\,\mathrm{GE}$$
zu b) Nun sind \(x\) und \(y\) frei wählbar und es liegt tatsächlich eine Optimierungsproblem vor. Nach Lagrange muss der Gradient der zu optimierenden Funkton eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da wir hier nur eine Nebenbedingung haben, heißt das:
$$\operatorname{grad}K(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}P(x;y)\quad\implies\quad\binom{5}{100}=\lambda\binom{1,8x^{-0,4}y^{0,4}}{1,2x^{0,6}y^{-0,6}}$$Um den Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) los zu werden, dividieren die Gleichung der zweiten Koordinate durch die der ersten Koordinate:$$20=\frac{100}{5}=\frac{\lambda\cdot1,2x^{0,6}y^{-0,6}}{\lambda\cdot1,8x^{-0,4}y^{0,4}}=\frac{12x}{18y}=\frac{2x}{3y}\quad\implies\quad \underline{\underline{x=30y}}$$
Dieses Ergebnis setzen wir in die konstante Produktionsfunktion ein:$$100=3x^{0,6}y^{0,4}=3(30y)^{0,6}y^{0,4}=3\cdot30^{0,6}y\quad\implies\quad y=\frac{100}{3\cdot30^{0,6}}\approx4,331178$$Damit ist \(x=30y\approx129,935328\) und die minimalen Kosten liegen bei$$K_{\text{min}}=5x+100y=5\cdot129,935328+100\cdot4,331178=1\,082,79\,\mathrm{GE}$$
