Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er genau 5 Gewinnlose?

Question

Aufgabe:

Unter den 250 Losen einer Lotterie befinden sich 50 Gewinnlose. Jemand kauft gleich zu Beginn 20 Lose. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er genau 5 Gewinnlose?

Problem/Ansatz:

Ist 0,2^5  ×   0,8^15 richtig?

Answer 1

Ich zitiere aus der Wikipedia:

"Einer dichotomen Grundgesamtheit werden in einer Stichprobe zufällig n Elemente ohne Zurücklegen entnommen. Die hypergeometrische Verteilung gibt dann Auskunft darüber, mit welcher Wahrscheinlichkeit in der Stichprobe eine bestimmte Anzahl von Elementen vorkommt, die die gewünschte Eigenschaft haben"

N = 250

K = 50

n = 20

k = 5

\( p =\frac{\left(\begin{array}{l}K \\ k\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}N-K \\ n-k\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}N \\ n\end{array}\right)} \)

Answer 2

Aloha :)

1) In welchen Fällen trifft das Ereignis zu (günstige Fälle):

Von den 50 Gewinnlosen sollen genau 5 ausgewählt werden, also müssen von den 200 Verliererlosen genau 15 ausgewählt werden. Dafür gibt es \(\binom{50}{5}\cdot\binom{200}{15}\) Möglichkeiten.

2) Wie viele mögliche Fälle gibt es?

Von den 250 Losen werden 20 ausgewählt. Dafür gibt es \(\binom{250}{20}\) Möglichkeiten.

3) Zusammensetzen der Wahrscheinlichkeit für genau 5 Gewinnlose:$$p(5)=\frac{\text{Anzahl günstiger Fälle}}{\text{Anzahl möglicher Fälle}}=\frac{\binom{50}{5}\cdot\binom{200}{15}}{\binom{250}{20}}\approx0,001324=0,1324\%$$