Komplexe Zahlen: z1=1-i und z2=e^{3*π*i/4}. Ergebnis in arithmetischer Form darstellen.

Question

Hallo

ich komme mit der Aufgabe net zu recht.

 

Gegeben sind die beiden Komplexen Zahlen  z₁=1-i und z₂=e^(3/4)*π*i

a)Berechnen sie Den Ausdruck $$ \frac { { z }_{ 2 } }{ { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 } } $$
 und stellen sie das ERgebnis in Arithmetischer Form dar.

                                      

b) Zeigen Sie Dass $$ z*\overline { z\quad  } =\quad \left| z \right| \quad $$

Soll heissen

z*z_QUER = |z|^{2}

 

Was muss ich zuerst machen

 

Vielen Dank

Comments

Hallo :-)

a)

Wandle e^(3/4)*π*i in die kartesische Form z = x + yi um. Dann kannst du den Bruch berechnen.

b)

setze z = x + yi, z* = x - yi, berechne das produkt.

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bei b) müsste es |z|^2 heißen, ne?

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ja Ganz genau habs vertippt.

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Also habe z₂=e^(3/4)*π*i = e^{2,35619 ⌊ 1,5707}  meinen sie so ?

 

Vielen Dank

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Die Frage ist bereits beantwortet. Wenn der Herr seine Aufmerksamkeit mal ein bisschen weiter nach unten zu bemühen gedenken würde ...

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3/4 π 1/2 π

der schei.. taschenrechner zeigt fehler immer winn ich es mit e eingebe.

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also zu b) Z*Z^___= (x + yi)*(x-yi)=(x²+yi²)=(√x²+yi² )²= |z|²

 

Stimmt das so ?

Vielen Dank nochmals

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Bei b) kannst du die dritte binomische Formel anwenden. Das habe ich jedenfalls in meiner Antwort so gemacht und dabei habe ich einen Zwischenschritt weggelassen. Ich schreibe es mal ausführlich hin:

(x + yi)(x - yi) =
x^2 - (yi)^2 =
x^2 - y^2 i^2 =
x^2 - y^2 (-1) =  | denn i^2 = -1
x^2 - (-y^2) =
x^2 + y^2 = |z|^2

Klaro?

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Vielen Dank

Ja habs verstanden also z = x+yi immer und

⁻z=x-yi!

 

Und was ist mit der a) die Kaopier ich net.

 

Vielen Dank

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was kapierst du an a) nicht?

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Hast du denn die Rechnung zu a) unten gesehen?

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warum muss man das cos uns sin nehmen?

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Das ist ein Umrechnungsschritt von der Polarform in die kartesische Form über die eulersche Formel, es gilt e^{φi} = cos(φ) + i sin(φ) http://www.mathe-online.at/materialien/Andreas.Pester/files/ComNum/inhalte/EulForm.html https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Formel

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Hallo ist das Gleiche wie bei den anderen Aufgaben ?

Aufgabe:  z1: 1-i; z2 1-i

Man berechne (z_1QUER /(z2)) ²  und gebe das Ergebnis in Exponentialform an .

 

Vielen Dank

Answer 1

a)

\(
z_1 = 1 - i \\
z_2 = e^{ \frac{3}{4} \pi i} \\
z_2 = \cos(\frac{3}{4} \pi ) + i \sin(\frac{3}{4} \pi ) \\
z_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \\
z_2 = -a + ia \\
\frac{z_2}{z_2 + z_1} = \frac{-a + ia}{-a + ia + 1 - i} =\\
\frac{-a + ia}{(1 - a) + i(a - 1)} =| \cdot \frac{(-a - ia) + (1 + i)}{(1 - a)  - i(a - 1)} \\
\frac{a^2 + a^2 - a - ia + ia - a} {1 - 2a + a^2 + a^2 -2a + 1} = \frac{2a^2 -2a} {2a^2 -4a + 2} =\\
\\
\frac{ 2\cdot\frac{1}{2} - 2\frac{ \sqrt{2}} {2} } { 2\cdot\frac{1}{2}-4\frac{\sqrt{2}}{2}+2} = \frac{1-\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}} = \\
-1 -\sqrt{2} \\
\)
$$$$
b)

\(
z = x + iy \\
\bar{z} = x - iy \\
z \cdot \bar{z} =  (x + iy)(x - iy) = x^2 + y^2 = |z|^2
\)