Beweisen Sie, dass die Poissonverteilung ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist?

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass die Poissonverteilung ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist ? mit einem λ ∈ [0,unendlich]

Problem/Ansatz:

Wir sollen zeigen,1) dass (λ^k ÷ k!) * e^-λ element aus [0,1] ist ,und 2) dass ∑(λk ÷ k!) * e-λ = 1 ergibt

Zu 1 wäre meine idee, dass e^-λ

kleiner als 1 wäre aufgrund des minus, jedoch fällt es mir schwer (λk ÷ k!) zu beweisen, dass sie kleienr als 1 ist?

mfg

Comments

mein versuMmein versuch bisher, bin leider unsicher ob das richtig ist

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten den Term:$$a_k\coloneqq\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\quad;\quad\lambda\ge0\;;\;k\ge0$$

zu 1) Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, gilt $a_k\ge0$. Die Abschätzung nach unten ist daher klar.

Für $k=0$ ist $a_0=e^{-\lambda}=\frac{1}{e^\lambda}$. Zur Abschätzung von $a_0$ nach oben wählen den kleinst-möglichen Nenner, damit der Burch möglichst groß wird. Das ist für $\lambda=0$ der Fall:$$a_0=\frac{1}{e^\lambda}\le\frac{1}{e^0}=\frac11=1$$

Für $k\ge1$ betrachten wir allgeminer:

$$a_k=\frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda}=\frac{\frac{\lambda^k}{k!}}{e^\lambda}=\frac{\frac{\lambda^k}{k!}}{\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{\lambda^k}{k!}}=\frac{\frac{\lambda^k}{k!}}{1+\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{\lambda^k}{k!}}\le\frac{\frac{\lambda^k}{k!}}{1+\frac{\lambda^k}{k!}}\le1$$Bei der Abschätzung haben wir von der unendlichen Summe im Nenner nur genau den einen Term ausgewählt, der auch im Zäher steht. Wir haben also im Nenner Summanden ausgelassen und ihn dadurch verkleinert. Das aber macht den gesamten Bruch größer.

Damit haben wir gezeigt: $a_k\in[0;1]$ für alle $\lambda\ge0$ und für alle $k\ge0$.

zu 2) Hier ist nicht viel zu tun, es reicht, die Potenzreihe von $e^\lambda$ zu kennen:

$$\sum\limits_{k=0}^\infty a_k=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=\frac{1}{e^\lambda}\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{\lambda^k}{k!}=\frac{1}{e^\lambda}\cdot e^\lambda=1$$

Comments

wie würde man das für die Binomialverteilung machen ?

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Das wäre fummeliger und bestimmt eine eigene Frage wert ;)

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ich habe deine argumentation oben verstanden, ich hatte damit argumentiert dass summe 1 ergibt und da alle kompoennten posoitv sind aufgrund unserer Anfangsbedinungen kann man schlussfolgern dass alle folgenmitglieder also komponenten element aus [0,1].

ich stelle die frage mal gleich

Answer 2

Hallo

2) wurde dir in deiner anderen Frage gezeigt, 1) ist ein Summand dieser Reihe  aus lauter positiven Summanden ,das sollte dir reichen.

Dein Schmierzettel ist für mich eine Zumutung zu lesen.

Gruß lul