Aloha :)
Wir betrachten den Term:$$a_k\coloneqq\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}\quad;\quad\lambda\ge0\;;\;k\ge0$$
zu 1) Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, gilt \(a_k\ge0\). Die Abschätzung nach unten ist daher klar.
Für \(k=0\) ist \(a_0=e^{-\lambda}=\frac{1}{e^\lambda}\). Zur Abschätzung von \(a_0\) nach oben wählen den kleinst-möglichen Nenner, damit der Burch möglichst groß wird. Das ist für \(\lambda=0\) der Fall:$$a_0=\frac{1}{e^\lambda}\le\frac{1}{e^0}=\frac11=1$$
Für \(k\ge1\) betrachten wir allgeminer:
$$a_k=\frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda}=\frac{\frac{\lambda^k}{k!}}{e^\lambda}=\frac{\frac{\lambda^k}{k!}}{\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{\lambda^k}{k!}}=\frac{\frac{\lambda^k}{k!}}{1+\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{\lambda^k}{k!}}\le\frac{\frac{\lambda^k}{k!}}{1+\frac{\lambda^k}{k!}}\le1$$Bei der Abschätzung haben wir von der unendlichen Summe im Nenner nur genau den einen Term ausgewählt, der auch im Zäher steht. Wir haben also im Nenner Summanden ausgelassen und ihn dadurch verkleinert. Das aber macht den gesamten Bruch größer.
Damit haben wir gezeigt: \(a_k\in[0;1]\) für alle \(\lambda\ge0\) und für alle \(k\ge0\).
zu 2) Hier ist nicht viel zu tun, es reicht, die Potenzreihe von \(e^\lambda\) zu kennen:
$$\sum\limits_{k=0}^\infty a_k=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=\frac{1}{e^\lambda}\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{\lambda^k}{k!}=\frac{1}{e^\lambda}\cdot e^\lambda=1$$
