Einfacher Beweis einer Ungleichung

Question

Aufgabe:

Beweise dass für alle Reelen Zahlen gilt:$$2\cdot |ab| \le a^2+b^2$$

Problem/Ansatz:

Ich wüsste gern wie man das beweist, bzw. wie man damit überhaupt anfangt, ich seh zwar das es so ist, aber hab keine Ahnung wie ich das als Beweis aufschrieben soll

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Deine Aussage kann man nicht beweisen, weil sie falsch ist. Du hast vermutlich ein Pluszeichen zwischen \(a^2\) und \(b^2\) vergessen, denn man kann zeigen, dass:$$2|ab|\le a^2+b^2$$Falls du das zeigen sollst, kannst du ausnutzen, dass Quadratzahlen immer \(\ge0\) sind:$$0\le\left(|a|-|b|\right)^2=|a|^2-2\cdot|a|\cdot|b|+|b|^2=a^2-2|ab|+b^2$$Wenn du nun auf beiden Seiten der Ungleichung \(2|ab|\) addierst, steht dort:$$2|ab|\le a^2+b^2$$

Comments

Ja stimmt, habe ein plus vergessen.

Danke für die schnelle und hilfreiche Antwort ^^

Answer 2

Hallo

setz mal a=1/2, b=1/2 und überprüfe deine Unglleichung  oder a=1, b=1/2

Gruß lul

Comments

Aber das beweist es NUR für die beiden paare, nicht für alle reellen Zahlen

oder?

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Das zeigt, dass die Ungleichung nicht allgemein gilt für alle a,b. Hast du denn eingesetzt? was hast du raus?

lul

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2*1/2*1/2 = 2/4 = 1/2
1/2)^2 + 1/2)^2 = 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2
1/2 kleiner gleich 1/2 ist korrekt

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ah entschuldige, habe wie unten gesagt das + zwischen a^2 und b^2 vergessen