Exponentialfunktion aus drei Punkten

Question

Aufgabe: Ich bitte um Hilfe bei folgender Aufgabe:

Gegeben ist eine Funktion mit:

f(x) = a * e^bx +c

Der Graph der Funktion verläuft durch folgende Punkte:

P (0/2), Q(1/3) und R (2/5)

Problem/Ansatz: soweit bin ich gekommen.

I 2 = a+e^0*b +c

II 3= a*e^1*b +c

III 5= a*e^2*b +c

I´ 2= a+c, wegen e^0 =1

II-I 3-2= a*e^b+c-(a+c)

   1= a*e^b +a= a(e^b-1)

und dann weiß ich nicht weiter, weil alle Ausdrücke für mich nicht rechenbar sind.

Answer 1

Hallo Erich,

das \(c\) lässt sich eliminieren. $$\begin{aligned} 2 &= a\cdot e^{0\cdot b} +c \implies c = 2-a\\ 3 &= a\cdot e^{1\cdot b} +c \\ 5 &= a\cdot e^{2\cdot b} +c \end{aligned} $$dann bleiben zwei Gleichungen:$$\begin{aligned} 3 &= ae^b + 2-a\\ 5 &= ae^{2b} + 2-a \end{aligned} \\$$etwas zusammen fassen$$\begin{aligned} 1 &= a(e^b -1)\\ 3 &= a(e^{2b}-1) \end{aligned} $$und dann die zweite verbleibende Gleichung durch die erste dividieren (3. binomische!)$$\implies 3 = \frac{e^{2b}-1}{e^b -1} = e^b +1 \\ \implies e^b = 2$$den Rest schaffst Du sicher allein ;-) und so sieht's aus:

~plot~ {0|2};{1|3};{2|5};1*2^x+1;[[-3|6|-1|7]] ~plot~

Gruß Werner

Comments

Danke!

Die 1 hätte mich auf die 3. binomische aufmerksam machen sollen!

Gruß

Erich

Answer 2

Die Gleichungen sind falsch, das b gehört jeweils in den Exponenten.

Comments

I 2 = a+e^(0*b) +c

II 3= a*e^(1*b) +c

III 5= a*e^(2*b) +c

Ja richtig, Eingabefehler:

---

Aha. Und wenn Du das gelöst hast, solltst Du auf a = 1, b = ln 2, c = 1 kommen, was die Funktion vereinfacht zu f(x) = 2^x + 1. Du solltest so lange versuchen das Gleichungssystem zu lösen, bis Du erfolgreich bist.

Answer 3

Rechne auch noch III-II.

Comments

III   5= a+e^2b+c

II   3= a*e^b+c

III-II  5-3 = a*e^2b +c-(a*e^b +c)

          2  = a*e^2b - a*e^b

           2 = a(e^2b + e^b)

            a= 2/(e^2b + e^b)

Das meinte ich mit Ausdrücke für mich nicht rechenbar