Funktion f(x) = x*log(x) auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit untersuchen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die Funktion f: ℝ^≥0 → ℝ gegeben durch:

f(x) = { x*log(x) für x > 0; 0 für x = 0

auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Mit log ist der natürlicher Logarithmus zur Basis e gemeint.

Problem/Ansatz:

1) Für x > 0 sind x und log(x) differenzierbar mit f'(x) = x*\( \frac{1}{x} \) + log(x) * 1 = \( \frac{x}{x} \)*log(x) = log(x)

Da x und log(x) stetig sind und ebenfalls ihre Komposition ist die Funktion für x > 0 stetig und wie zuerst gezeigt differenziebar.

2) Nun untersuchen wir x = 0 mittels des Differenzquotienten:

\( \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \) = \( \frac{x*log(x)-0}{x} \) = log(x), da der Grenzwert log(0) jedoch nicht definiert ist, ist f(x) für x = 0 nicht diffbar und nicht stetig.

Ist dies so korrekt und formal korrekt aufgeschrieben?

Answer 1

1)

Für x > 0 sind x und log(x) differenzierbar

Insofern bewiesen, ok.

f'(x) = x*\( \frac{1}{x} \) + log(x) * 1 = \( \frac{x}{x} \)*log(x) = log(x)

Flüchtigkeitsfehler: \(f'(x)=x\cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot 1 = 1+\log x\) für \(x>0\).

Anmerkung: Das Ermitteln der konkreten Ableitung ist hier überflüssig, es hätte eine Begründung der Differenzierbarkeit über die Sätze bzgl. der Ableitungsregeln gereicht.

Komposition

Produkt

stetig und wie zuerst gezeigt differenziebar.

Besser: wie gezeigt differenzierbar und damit stetig.

2) Ich denke man kann verstehen worauf du hinaus willst, allerdings ist das nicht formal (und auch nur ein Teil) korrekt.

Formal korrekt wäre es eher so:

Wegen \(\lim_{x\to 0} \frac{f(x+0)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{x\cdot \log(x)}{x} = \lim_{x\to 0} (\log x) = -\infty\) ist \(f\) an der Stelle \(x_0=0\) nicht differenzierbar.

Die Folgerung der Nicht-Stetigkeit ist ein Trugschluss (es gilt differenzierbar => stetig, aber die Aussage nicht differenzierbar => nicht stetig ist i.A. falsch, einfachstes Beispiel ist die Betragsfunktion an der Stelle \(x=0\)).

Trotzdem ist die Funktion \(f\) an der Stelle \(x=0\) nicht stetig, da sie zwar rechtsseitig, aber nicht linksseitig stetig ist.

Answer 2

Hallo,

die Funktion f ist stetig. Die Stetigkeit außerhalb von 0 ergibt sich aus der Stetigkeit der Teilfunktionen.

Im Nullpunkt ist definiert f(0)=0. Der Nullpunkt ist linker Rand des Definitionsbereichs, ein linksseitiger Grenzwert existiert hier nicht. Aber für \(h>0\) und \(h \to 0\) gilt:

$$f(h)=h \log(h) \to 0=f(0)$$

Also stimmen der Funktionsgrenzwert und der Funktionswert überein.

Der Beweis der Konvergenzaussage hängt vom Stand Eurer Vorlesung ab. In Frage kommt der Satz von l'Hospital oder eine Substitution \(h=\exp(-t), t \to \infty\)

Gruß Mathhilf