log (\dfrac{ln(u^2)-ln(u)+ln(\sqrt{u})}{ln(u^3)}) vereinfachen

Question

\(\dfrac{ln(u^2)-ln(u)+ln(\sqrt{u})}{ln(u^3)}\)
ich muss den Ausdruck vereinfachen.
ich hatte damit angefangen, den Nenner wegbekommen zu versuchen. allg. gilt ja, dass ln(a) / ln(b) auch als ln(a) - ln(b) geschrieben werden kann, also habe ich:
ln(u^2)-ln(u)+ln \( \sqrt{u} \) - ln(u^3)
nun habe ich \( \sqrt{u} \) als u^1/2 geschrieben, um damit arbeiten zu können
also:

ln(u²) - ln(u) +(ln^1/2)- ln (u³ )
ich dachte, dass man jetzt die Potenzen einfach miteinander verrechnen kann
2-1+1/2-3 = -3/2

allerdings sei die Lösung 1/2

kann mir jemand bitte erklären, was ich falsch mache?

Answer 1

(ln(u²) - ln(u) +(ln(u^1/2)))/ ln (u³ )=\( \frac{2ln(u)+ln(u)+1/2ln(u)}{3ln(u)} \)

Answer 2

Aloha :)

$$\frac{\ln(u^2)-\ln(u)+\ln(\sqrt u)}{\ln(u^3)}=\frac{\left(2-1+\frac12\right)\ln(u)}{3\ln(u)}=\frac{\frac32\ln(u)}{3\ln(u)}=\frac12$$Du hast die \(3\) aus dem Nenner subtrahiert, musst aber durch sie dividieren.

Du hast irgendwie \(\ln(\frac ab)=\ln a-\ln b\) verwendet, was hier aber nicht anwendbar ist, da ja nicht der gesamte Bruch Argument einer Logarithmus-Funktion ist.

Comments

@Tschaka

Ich habe bei 32 das fehlende \frac ergänzt.

:-)