Vektoren Schnittuntersuchung Dreieck

Question

Hey,

gegeben ist die gerade g und die Punkte eines Dreiecks A,B,C die Frage ist, ob die gerade dieses Dreieck trifft.
Wie löse ich hier am Besten nach r, s und t auf? Und ist alles davor richtig?

Danke

Comments

Ich glaub ich habs muss bei I. II. III. vereinfachen also:

I: r = 6s + 4t

II: 10-2r = 6s + 8t

III: r = 3s + 8t

---

Für r hab ich nun 12t und t = 3/4s komme trotzdem nicht weiter.

Answer 1

Aloha :)

Du musst das folgende Gleichungssystem lösen:

$$\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}6\\6\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\8\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\11\\-1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$$Das kann man umformen:$$r\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}6\\6\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\8\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\11\\-1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\10\\0\end{pmatrix}$$und als Matrix schreiben:$$\begin{array}{rrr|r|l}r & s & t & = &\text{Rechenschritt}\\\hline-1 & 6 & 4 & 0 &\cdot(-1)\\2 & 6 & 8 & 10 &+2\cdot\text{Zeile 3}\\-1 & 3 & 8 & 0 &-\text{Zeile 1}\\\hline1 & -6 & -4 & 0 &-2\cdot\text{Zeile 3}\\0 & 12 & 24 & 10 &+4\cdot\text{Zeile 3}\\0 & -3 & 4 & 0 &\colon(-3)\\\hline1 & 0 & -12 & 0 &\\0 & 0 & 40 & 10 &\colon40\\ 0 & 1 & -\frac43 & 0\\\hline1 & -6 & -4 & 0 &-2\cdot\text{Zeile 3}\\0 & 12 & 24 & 10 &+4\cdot\text{Zeile 3}\\0 & -3 & 4 & 0 &\colon(-3)\\\hline1 & 0 & -12 & 0 &+12\cdot\text{Zeile 2}\\0 & 0 & 1 & \frac14 &\\ 0 & 1 & -\frac43 & 0 & +\frac43\cdot\text{Zeile 2}\\\hline1 & 0 & 0 & 3\\0 & 0 & 1 & \frac14\\[0.5ex]0 & 1 & 0 & \frac13\\\hline\end{array}$$Wir haben eine Lösung und daher schneidet die Gerade schon mal die Ebene, in der das Dreieck liegt. Damit auch das Dreieck selbst getroffen wird, muss die Summe der Parameter in der Dreieckgleichung zwischen \(0\) und \(1\) liegen.$$s+t=\frac13+\frac14=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}\implies 0\le s+t\le1\quad\checkmark$$Das Dreieck wird also tatsächlich getroffen.

Answer 2

Hallo

man schreibt die Gleichungen besser in der Art

a*r+b*s*c*t=Zahl

dann 1. Schritt die ersten 2 Gl, so subtrahieren dass r rausfällt, dann 1, stehen lassen, neue II hat kein r

jetzt  I und III so multiplizieren, dass auch hier r wegfällt.

dann hast du II uns III ohne r

jetzt die neuen II und III so multiplizieren und addieren, dass s oder t wegfallt. die  neue Gleichung hat nur noch t , danach auflösen, das Ergebnis in II einsetzen, gibt s, in 1 einsetzen gibt r

Gruß lul