Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$$$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$$$f''(x)=6ax+2b$$Setzen wir mal ein, was wir an Bedingungen haben:$$1=f'(0)=c\implies \boxed{c=1}$$$$6=f(1)=a+b+c+d=a+b+1+d\implies a+b+d=5$$$$29=f'(-2)=12a-4b+c=12a-4b+1\implies12a-4b=28\implies3a-b=7$$$$0=f''\left(\frac16\right)=a+2b\implies a+2b=0$$
Aus den letzten beiden Gleichungen folgen \(a\) und \(b\):$$a+2b=0\implies a=-2b$$$$7=3a-b=3\cdot(-2b)-b=-7b\implies \boxed{b=-1}$$$$a=-2b=-2\cdot(-1)=2\implies \boxed{a=2}$$Aus der zweiten Gleichung von oben folgt noch \(d\):$$5=a+b+d=-1+2+d=1+d\implies\boxed{d=4}$$
Die Gesuchte sieht also so aus:$$f(x)=2x^3-x^2+x+4$$
