Aussagen beweisen, lin. Algebra

Question

Die Aufgabe lautet:

Beweise, dass cos(2π/5)=(√5-1)/4 ist.

(Also die Wurzel ist nur über der 5)

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Die Aufgabe lautet:

Beweise, dass (2π/5)=(√5-1)/4 ist.

Fehlt da nicht noch eine Winkelfunktion???

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Oh tut mir leid. Ich habe die Aufgabe falsch gelesen.

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cos(2π/5)=(√5-1)/4

Tut mir nochmal leid.

Answer 1

Für \(x=\frac{2\pi}5\) gilt wie man leicht nachrechnet die Gleichung \(\cos3x=\cos2x\).
Mit den bekannten Additionstheoremen, sowie der Substitution \(c\text{:=}\cos x\) folgt$$\quad4c^3-2c^2-3c+1=0.$$Diese Gleichung hat die Lösungen

\(\quad c_1=1\)
\(\quad c_2=\tfrac14(\sqrt5-1)\)
\(\quad c_3=\tfrac14(-\sqrt5-1)\).

Wegen \(0<\cos\tfrac{2\pi}5<1\)  ist \(\cos\tfrac{2\pi}5=\tfrac14(\sqrt5-1)\).

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Okay, soweit habe ich die Schritte verstanden, aber hätte noch eine Frage. Mithilfe welcher Funktion komme ich auf die Gleichung

cos3x=cos2x ?

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Aufgrund der Symmetrien des Kosinus gilt \(\cos(\pi-\tfrac x2)=\cos(\pi+\tfrac x2)\)  für alle \(x\in\mathbb R\). Insbesondere für \(x=\frac{2\pi}5\)  gilt \(\cos\tfrac{4\pi}5=\cos\tfrac{6\pi}5\), also \(\cos2x=\cos3x\).

Answer 2

Hallo

zeichne ein regelmäßiges 5 Eck in einen  Einheitskreis, und die Radien zu den Ecken, wenn du deine Gleichung noch verbesserst! denn die ist so einfach falsch.

Gruß lul

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Tut mir leid. Ich habe das cos überlesen