Lineare Algebra Beweis zur lin. Unabhängigkeit

Question

ich habe eine Frage zur linearen Algebra.

Habe ich folgenden Beweis richtig gemacht?

Text erkannt:

181 Sei \( V_{1}, \ldots . V_{m} \) ein System von Veltoren in \( \mathbb{R}^{n} \) a) Angenommen es gibt ein linear unabhängiges System \( \omega_{1} \ldots . . \omega_{m} \) in \( \mathbb{R}^{n} \) \& Skalare \( c_{i} \in \mathbb{R} \backslash\{O\} \) mit \( V_{i}=c_{i} W_{i} \) füc \( i=1, \ldots, m \).
\( z: V_{1}, \ldots, V_{m} \) ist auch linear unabhängig
Beweis: \( \lambda_{1} v_{1}+\ldots+\lambda_{m} V_{m}=0 \Rightarrow \lambda_{1}=\ldots=\lambda_{m}=0 \)
\( \omega_{1}, \ldots, \omega_{m} \) linear unabhängig \( \Rightarrow \) Die lineare Relation
\( \lambda_{1} \omega_{1}+\ldots+\lambda_{m} \omega_{m}=0 \) ist trivial, d.h. für die Skalare
\( \lambda_{1} \ldots, \lambda_{m} \) gilt: \( \lambda_{1}=\ldots=\lambda_{m}=0 \).
Es gelk auch: \( V_{i}=C_{i} W_{i}(*) \)
Behrachle die Relation: \( \lambda_{1} v_{1}+\ldots+\lambda_{m} V_{m}=0 \)
\( \stackrel{(*)}{\Longrightarrow} \lambda_{1} c_{1} \omega_{1}+\ldots+\lambda_{m} c_{m} \omega_{1}=0 \stackrel{\omega_{i} l_{1} u}{\lambda_{i}=0} \lambda_{1} c_{1}=\ldots=\lambda_{m} c_{m}=0 \)

Answer 1

Die letzte Folgerung gilt gerade nicht, weil die \( \lambda_i=0 \) sind. Bedenke, dass das nicht die Skalare von vorher sind. Du musst aus \( \lambda_1 c_1 = \ldots =\lambda_m c_m =0 \) folgern, dass die \( \lambda_i =0 \) sind.

Comments

Kann ich da nicht am Ende einfach sagen, da ja grad w_1,…,w_m linear unabhängig sind, müssen die Skalare λ_i*c_i = 0 sein und daher ja auch λ_i = 0?

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Die Frage ist, warum?

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Das ist ja die Annahme des Beweises, das w1,…,w_m linear unabhängig ist und das man dann daraus folgern soll, das wenn auch v_i = c_i * w_i, gilt wobei c_i aus den reelen Zahlen mit c_i ≠ 0, das dann v1,…,v_m auch linear unabhängig ist.

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Das warum bezog sich darauf, warum aus \(\lambda_i c_i=0\) folgen muss, dass \(\lambda_i=0\) ist.

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Da ja c_i ≠ 0 ist nach Voraussetzung, d.h. λ_i * c_i

kann nur 0 sein, wenn die Lampda 0 sind.

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Gut, das wollte ich lesen. :)

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Dankschön :)