Aussagen beweisen oder widerlegen

Question

Aufgabe:4)
Es seien a, b ∈R. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen. Für alle a < 0 < b gilt:
a) 1/a > 1/b ,
b) 1/a < 1/b ,
c) 1/a ≥ 1/b ,
d) 1/a ≤ 1/b .
Was ändert sich, wenn a ≤ b < 0 gilt?

Problem/Ansatz:

a < 0 < b heißt ja zunächst, dass ab < 0 ist. Was ist hier jedoch mit beweisen und widerlegen gemeint? Ich weiß nicht wie ich das alles umformen soll. Wegen ab < 0 ist 1/(ab) < 0. Aber ich verstehe dort nicht ganz wieso.

Answer 1

Was ist hier jedoch mit beweisen und widerlegen gemeint?

Mit beweisen ist gemeint, von Axiomen ausgehend logisch schlussfolgern.

Mit widerlegen ist gemeint, die Negation zu beweisen.

Ich weiß nicht wie ich das alles umformen soll.

Wenn a, b ∈ ℝ sind, dann kannst du die Axiome eines angeordneten Körpers verwenden.

Da das recht mühselig ist, solltest du mal nachschauen, was sonst noch so über angeordneten Körper bewiesen wurde.

a) 1/a > 1/b

Stimmt nicht, zum Beispiel a = -1, b=1.

Dazu muss man natürlich bewiesen haben:

• -1 < 0
• 0 < 1
• 1/(-1) = -1
  

oder ähnliches.

Comments

Reicht als Beweis denn einfach das einsetzen von irgendwelchen Zahlen?

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Es gibt Allaussagen, wie zum Beispiel

Für alle \(a,b\in \mathbb{R}\) mit \(a<0<b\) gilt \(\frac{1}{a}>\frac{1}{b}\).

und Existenzaussagen, wie zum Beispiel

Es gibt \(a,b\in \mathbb{R}\) mit \(a<0<b\), so dass \(\frac{1}{a}\not>\frac{1}{b}\) ist.

Eine dieser beiden Arten kan man durch "einsetzen von irgendwelchen Zahlen" beweisen.

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Kann ich a gegen -∞ und b gegen ∞ laufen lassen (limes) und es somit beweisen? Beides ginge ja gegen 0, und 0 > 0 gilt ja nicht.

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Die Aussage

Für alle \(a,b\in \mathbb{R}\) mit \(a<0<b\) gilt \(\frac{1}{a}>\frac{1}{b}\).

beweist man überhaupt nicht. Grund dafür ist, dass sie falsch ist.

Die Aussage

Es gibt \(a,b\in \mathbb{R}\) mit \(a<0<b\), so dass \(\frac{1}{a}\not>\frac{1}{b}\) ist.

ist eine Existenzaussage. Sie kann deshalb bewiesen werden, indem konkrete Werte für \(a\) und \(b\) angegeben werden, die

        \(a<0<b \text{ und } \frac{1}{a}\not>\frac{1}{b}\)

erfüllen.

Die Existenzaussage ist die Negation der Allaussage. Weil es nicht möglich ist, dass sowohl eine Aussage als auch ihre Negation gültig sind, ist durch den Beweis der Existenzaussage die Allaussage widerlegt.

Kann ich a gegen -∞ und b gegen ∞ laufen lassen (limes) und es somit beweisen?

Dann hast du eine Aussage über den Limes bewiesen. Keine deiner Aussagen aus deiner Frage sagt irgendetwas über den Limes aus.

Die Aussage

Für alle \(a,b\in \mathbb{R}\) mit \(a<0<b\) gilt \(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\).

ist gültig. Sie kann deshalb nicht wie oben widerlegt werden, sondern muss bewiesen werden.

Weil es sich um eine Allaussage handelt, kann sie nicht bewiesen werden indem für \(a\) und \(b\) irgendwelche Zahlen eingesetzt werden. Stattdessen werden \(a\) und \(b\) mit den geforderten Voraussetzungen postuliert:

        Seien \(a,b\in \mathbb{R}\) mit \(a < 0 < b\).

Jetzt wird mittels Körperaxiomen und bewiesener Eigenschaften der reellen Zahl begründet, warum \(\frac{1}{a} < 0 < \frac{1}{b}\) ist.