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Aufgabe:

Seien (an)n∈ℕ und (bn)n∈ℕ Folgen und a,b∈ℝ. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:

a) Gilt an → a, bn → b und an < bn für alle n∈ℕ, so folgt a < b.

b) Gilt an → 0 und ist (bn)n∈ℕ beschränkt, so folgt anbn → 0.

c) Gilt an → a, bn ≠ 0 für alle n∈ℕ und (an)/(bn) → 0, so kann (bn)n∈ℕ keine Nullfolge sein.

d) Gilt bn → 0 und bn ≠ 0 für alle n∈ℕ, so ist (1)/(bn)n∈ℕ in ℝ divergent.

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Gegenbeispiel zu a)   1/(n+1)  <   1/n beide Grenzwerte 0.

b)  Seien (an)n∈ℕ (bn)n∈ℕ  Folgen mit an → 0 und ist (bn)n∈ℕ beschränkt.

Also existiert ein c∈ℝ mit |bn| < c für alle n∈ℕ.

und zu jedem ε>0 ein N∈ℕ mit n>N ==>  | an | < ε für alle n∈ℕ.  #

Es ist zu zeigen :  anbn → 0.

Sei nun ε>0 . Dann suchst du ein N∈ℕ mit n>N ==>  | an*bn | < ε für alle n∈ℕ.

| an*bn | =   | an| *| bn |  ≤    | an| * c

Das ist sicherlich kleiner ε, wenn | an | <  ε / c .

Wegen c>0 ist ε / c > 0 und gemäß # gibt es also

ein N∈ℕ mit n>N ==>  | an | < ε/c für alle n∈ℕ.

Dieses N ist das Gesuchte.


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