Gegenbeispiel zu a) 1/(n+1) < 1/n beide Grenzwerte 0.
b) Seien (an)n∈ℕ (bn)n∈ℕ Folgen mit an → 0 und ist (bn)n∈ℕ beschränkt.
Also existiert ein c∈ℝ mit |bn| < c für alle n∈ℕ.
und zu jedem ε>0 ein N∈ℕ mit n>N ==> | an | < ε für alle n∈ℕ. #
Es ist zu zeigen : anbn → 0.
Sei nun ε>0 . Dann suchst du ein N∈ℕ mit n>N ==> | an*bn | < ε für alle n∈ℕ.
| an*bn | = | an| *| bn | ≤ | an| * c
Das ist sicherlich kleiner ε, wenn | an | < ε / c .
Wegen c>0 ist ε / c > 0 und gemäß # gibt es also
ein N∈ℕ mit n>N ==> | an | < ε/c für alle n∈ℕ.
Dieses N ist das Gesuchte.