Kugel ziehen und Gewinnwahrscheinlichkeit berechnen

Question

Aufgabe:

Urne: 20 rote, 21 blaue und 29 gelbe Kugeln. Spieler A und B ziehen abwechselnd eine Kugel aus der Urne und legen, falls sie nicht gewonnen haben, die Kugel wieder zurück. Zieht A beim eigenen ziehen eine rote Kugel gewinnt er. B gewinnt, falls er eine blaue Kugel zieht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt A?

Problem/Ansatz:

P(A gewinnt beim ersten Zug): 20/70

P(A gewinnt beim 2. Zug): (50/70)*(49/70)*(20/70)

P(A gewinnt beim 3.Zug): (50/70*49/70)^2 *(20/70)

Mit welcher WK gewinnt A, hier muss man ja die Summe von theoretisch unendlich vielen Zügen nehmen. Wie berechne ich dies?

Answer 1

Man kann das über eine Markovkette Modellieren.

a = 20/70 + 50/70·b
b = 49/70·a

Wenn ich das Gleichungssystem löse komme ich auf a = 4/7 = 0.5714

Man könnte es auch über eine unendliche Summe modellieren

∑ (k = 0 bis ∞) ((50/70·49/70)^k·(20/70)) = 4/7

Letzteres ist so wie du das oben vorhattest.