Wieviele Möglichkeiten gibt es dafür?

Question

Aufgabe:

Ich habe 2021 Kugeln und möchte sie auf zwei Urnen A und B verteilen. Wieviele Möglichkeiten gibt es dafür?

Bei dieser kleinen Zahl „sieht man“, dass es 2021 (?) Möglichkeiten gibt. Wie sieht es aber aus, wenn es immer mehr Urnen werden? Sprich 2021 Kugeln auf die Urnen A, B und C? Und A,B,C und D usw.?

Ich stehe grade auf dem Schlauch.

Comments

vgl:

https://www.wias-berlin.de/people/stephan/Kombi.pdf

Answer 1

Bei dieser kleinen Zahl „sieht man“, dass es 2021 (?) Möglichkeiten gibt.

Nein, es gibt \( \begin{pmatrix} 2021\\2 \end{pmatrix} \)  Möglichkeiten.

Entsprechend bei n Urnen \( \begin{pmatrix} 2021\\n\ \end{pmatrix} \) Möglichkeiten.

Comments

Ich habe bei umformulieren der Frage wohl zuviel weggelassen.

Ursprünglich stand da sowas wie:

Du stehst vor einem gigantischen Wald aus Syntaxbäumen. Vor dem Wald steht ein Schild:

"Jeder Baum in diesem Wald hat exakt 2021 Blätter und jedes Blatt hat die Tiefe 2."

Finde heraus wieviele verschiedene Bäume im Wald stehen.

Es ist bekannt, dass alle möglichen Bäume auch im Wald vorhanden sind. Desweiteren gelten zwei Bäume als gleich, wenn ihre Struktur übereinstimmt. Die Bezeichnung der inneren Knoten, also der Variablen, und der Blätter, also der Terminalzeichen, spielt keine Rolle!

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Deswegen hätte man bei 2 Knoten 2021 Möglichkeiten die Blätter auf A und B zu verteilen

Answer 2

Wenn die Kugeln nicht unterscheidbar sind, geht es um die Frage, 2021 als Summe von n Zahlen darzustellen, wobei die Zahlen nicht vertauscht werden dürfen, da z.B. 1000 Kugeln in A und 1021 in B einen anderen Fall darstellen als 1021 in A un 1000 in B.

Bei zwei Gefäßen, also n=2:

0+2021

1+2020

...

2021+0

Damit komme ich auf 2022 Möglichkeiten.

Für n=3:

0+0+2021; 0+1+2020; ...; 0+2021+0 → 2022

1+0+2020; 1+1+2019; ...; 1+2020+0 → 2021

...

2021+0+0 → 1

Also 1+2+...+2022=(2022+2023)/2

...

Vielleicht verstehe ich die Aufgabe auch falsch.

:-)

Comments

Ich habe bei umformulieren der Frage wohl zuviel weggelassen.

Ursprünglich stand da sowas wie:



Du stehst vor einem gigantischen Wald aus Syntaxbäumen. Vor dem Wald steht ein Schild:

"Jeder Baum in diesem Wald hat exakt 2021 Blätter und jedes Blatt hat die Tiefe 2."

Finde heraus wieviele verschiedene Bäume im Wald stehen.

Es ist bekannt, dass alle möglichen Bäume auch im Wald vorhanden sind. Desweiteren gelten zwei Bäume als gleich, wenn ihre Struktur übereinstimmt. Die Bezeichnung der inneren Knoten, also der Variablen, und der Blätter, also der Terminalzeichen, spielt keine Rolle!

Deswegen gibt es bei 2 Knoten 2021 Möglichkeiten…

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Die Antwort geht genau in die Richtige Richtung denke ich. Kann man das irgendwie verallgemeinern?

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Da muss ich erst einmal herausfinden, was Syntax-Bäume sind.

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Warum bei n=3 (2022+2023)/2

Müsste es nicht 2022+2023)/3 sein?

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Das ist auf Wikipedia recht gut erklärt https://de.wikipedia.org/wiki/Syntaxbaum

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Die Formel für die Summe 1+...+n ist

1+2+...+n = n*(n+1)/2