Wie zur Hölle kommst du auf die Anfangs-und Endglieder von den Gleichungen also zB dieses ,,12-6•... - 20+12"?
Für jede Tangente \(t\) an die Funktion \(f(x)=x^3\) an der Stelle \(x=a\) gilt:$$t(x)=3a^2 x -2a^3$$so wie oben gezeigt. Falls das unklar ist, frage bitte nochmal nach.
Eine der Tangenten, die durch den Punkt \((2|\,4)\) verlaufen, tangiert \(f\) bei \(a=a_3=1-\sqrt 3\). In diesem Fall ist dann$$a^2=(1-\sqrt 3)^2 = 1^2 - 2\sqrt 3 + \sqrt 3^2= 4-2\sqrt 3\\ 3a^2 = 12-6\sqrt 3$$\(3a^2\) ist die Steigung der Tangente \(t\). Und weiter ist$$a^3 = a^2\cdot a = (4-2\sqrt 3)(1-\sqrt 3) = 4-4\sqrt 3 - 2\sqrt 3 + 2\sqrt 3^2\\\phantom{a^3}= 10-6\sqrt 3\\2a^3 =20-12\sqrt 3$$und somit ist die Tangentengleichung für \(a=1-\sqrt 3\)$$t(x) = (12-6\sqrt3)x -20 +12\sqrt 3$$
Bei mir kommt da raus einmal \(y_1=3x-2\) und \(y_2= 3( (\sqrt 3)+1)^2 - 2 ((\sqrt 3)+1)^3\).
das ist doch genau das gleiche. Der Unterschied ist, dass ich die Terme ausmultipliziert habe (s.o.).
Die ist aber keine Tangente, da sie die Kurve von \(x^3\) in 2 Punkten schneidet oder?
beides! \(t_{a=1-\sqrt 3}(x)\) ist eine Tangente, die trotzdem die Kurve in einem(!) weiteren Punkt schneidet.
~plot~ x^3;{2|4};[[-2|4|-5|15]];;(12-6*sqrt(3))x-20+12*sqrt(3);{1-sqrt(3)|10-6*sqrt(3)} ~plot~
das gilt für die beiden anderen Tangenten genauso. Es existiert keine(!) lineare Funktion, also auch keine Tangente, die \(f=x^3\) nicht mindestens einmal schneidet.
