Zeige dass f weder injektiv noch surjektiv ist, und gib möglichst große Mengen an

Question

Aufgabe:

Seien a, b ∈ R mit a < b, und sei
f : R → R gegeben durch
x ↦ (x − a)(x − b).
Zeigen Sie, dass f weder injektiv noch surjektiv ist, und geben Sie möglichst große Mengen
A ⊃ [b, ∞) und B ⊂ R an, so dass die Abbildung g : A → B,

x ↦ f(x)
bijektiv ist.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nichts davon, kann mir einer eventuell eine Schritt für Schritt Erklärung dazu geben?

Answer 1

Wegen \(a\neq b\), aber \(f(a)=0=f(b)\), ist \(f\) nicht injektiv.

Der Graph von \(f\) ist eine verschobene nach oben geöffnete

Standardparabel. Der x-Wert des Scheitelpunkts ist das arithmetische

Mittel der Nullstellen, also \(x_S=\frac{a+b}{2}\).

\(y_S\) ergibt sich als \(y_S=f(x_S)=-\frac{1}{4}(b-a)^2\).

Wir erhalten damit \(f(x)=(x-\frac{a+b}{2})^2-\frac{1}{4}(b-a)^2\geq -\frac{1}{4}(b-a)^2\).

Daher ist die Funktion nicht surjektiv.

Der aufsteigende Teil der Parabel beginnt bei \(x_S=\frac{a+b}{2}\);

also ist \(A=[\frac{a+b}{2},\infty)\) und \(B=[-\frac{1}{4}(b-a)^2,\infty)\)

Comments

Ich habs einfach verstanden. Dankeeee