Aufgabe zur Leibnitzregel

Question

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V 1.3. Leibniz-Regel
Verwenden Sie die Leibniz-Regel (Vorlesung 22. Okt.) zur Berechnung der Ableitung \( I^{\prime}(t) \) der Funktion \( I:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( I(t)=\int \limits_{\sqrt{\pi / t}}^{2 \sqrt{\pi / t}} \frac{1+\cos \left(t x^{2}\right)}{x} \mathrm{~d} x \)
Wie erklären Sie Sich das sehr einfache Ergebnis?

ich habe bereits einen Ansatz gerechnet, stehe aber nun vor der vereinfachung bzw. der Berechnung des Integrals. Kann mir jemand sagen, wie ich hier weiter vereinfache oder ggf einen Fehler bei der Benutzung des Leibnitz Integrals gemacht habe?

Comments

Hallo,

im ersten Term musst Du unter dem Integral nach t differenzieren, das Nachdifferenzieren liefert den Faktor x^2, Du scheinst nach x differnziert zu haben?

Bei dem 2. Teil musst Du x durch die Grenzen ersetzen, nicht t.

Vielleich schreibst Du Dir die Leibnisz-Regel mal für dieses Variablen auf ("t außen, x innen")

Gruß Matthhilf

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Wie erklären Sie Sich das sehr einfache Ergebnis

Die Substitution u = (√t)·x zeigt, dass das Integral I(t) = _√π∫^2√π (1+cos(u^2)) / u du überhaupt nicht von t abhängt.

Answer 1

Die Leibnitzregel lautet für ein Parameterintegral \( I(t) \)

$$ I(t) = \int_{a(t)}^{b(t)} f(t,x) dx $$ $$ I'(t) = f( t,b(t) ) \cdot b'(t) - f( t,a(t)) \cdot a'(t) + \int_{a(t)}^{b(t)} \frac{ \partial }{\partial t} f(t,x) dx $$

Hier gilt \( a(t) = \sqrt{ \frac{\pi}{t} } \),   \( b(t) = 2 a(t) \) und \( f(t,x) = \frac{1+\cos(t x^2)}{x} \)

Alos $$ a'(t) = -\frac {1}{2} \sqrt{\pi}  t^{-\frac{3}{2}}  $$

$$ b'(t) = -\sqrt{\pi}   t^{-\frac{3}{2} } $$

$$ f(t,a(t) = 0 $$

$$ f(t,b(t)) = \sqrt{ \frac{t}{\pi} } $$

$$  \frac{ \partial }{\partial t} f(t,x)  = -x \sin(t x^2 ) $$

Alles zusammengesetzt ergibt

$$ I'(t) = 0 $$ weil das Integral $$  \int_{a(t)}^{b(t)} \frac{ \partial }{\partial t} f(t,x) dx = \frac{1}{t} $$ ergibt.

Answer 2

Aloha :)

Wir sollen das Integral$$I(t)=\int\limits_{\sqrt{\pi/t}}^{2\sqrt{\pi/t}}\frac{1+\cos(tx^2)}{x}\,dx\quad;\quad \frac{dI}{dt}=?$$nach dem Parameter \(t\) ableiten.

Da sowohl der Integrand als auch die obere und die untere Integrationsgrenze stetig (partiell) differenzierbar nach dem Parameter \(t\) sind, kannst du die Leibnizregel anwenden. Zum besseren Verständnis schreibe ich dazu die Integrationsgrenzen als Funktionen:$$I(t)=\int\limits_{u(t)}^{o(t)}\underbrace{\frac{1+\cos(tx^2)}{x}}_{=f(x;t)}\,dx\quad;\quad u(t)=\sqrt{\pi/t}\quad;\quad o(t)=2\sqrt{\pi/t}$$

Gemäß der Leibniz-Regel gilt nun:$$\frac{dI}{dt}=\int\limits_{u(t)}^{o(t)}\frac{\partial}{\partial t}f(t;x)\,dx+f(t;o(t))\cdot o'(t)-f(t;u(t))\cdot u'(t)$$$$\phantom{\frac{dI}{dt}}=\int\limits_{u(t)}^{o(t)}\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1+\cos(tx^2)}{x}\right)\,dx+\frac{1+\cos(t\cdot o^2(t))}{o(t)}\,o'(t)-\frac{1+\cos(t\cdot u^2(t))}{u(t)}\, u'(t)$$$$\phantom{\frac{dI}{dt}}=\!\!\!\int\limits_{\sqrt{\frac\pi t}}^{2\sqrt{\frac\pi t}}\frac{-\sin(tx^2)\cdot x^2}{x}dx+\frac{\overbrace{1+\cos\left(t\cdot 4\frac\pi t\right)}^{=2}}{2\sqrt{\frac\pi t}}\left(2\sqrt{\frac\pi t}\right)'-\frac{\overbrace{1+\cos\left(t\,\frac\pi t\right)}^{=0}}{\sqrt{\frac\pi t}}\left(\sqrt{\frac\pi t}\right)'$$$$\phantom{\frac{dI}{dt}}=\!\!\!\int\limits_{\sqrt{\frac\pi t}}^{2\sqrt{\frac\pi t}}-x\sin(tx^2)\,dx+\frac{1}{\sqrt{\frac\pi t}}\left(2\sqrt{\frac\pi t}\right)'$$$$\phantom{\frac{dI}{dt}}=-\frac1{2t}\int\limits_{\sqrt{\frac\pi t}}^{2\sqrt{\frac\pi t}}(2tx)\sin(tx^2)\,dx+\frac{\sqrt t}{\sqrt\pi}\,2\sqrt\pi\left(t^{-\frac12}\right)'$$$$\phantom{\frac{dI}{dt}}=\frac1{2t}\left[\cos\left(tx^2\right)\right]_{x=\sqrt{\frac\pi t}}^{x=2\sqrt{\frac\pi t}}+2t^{\frac12}\left(-\frac12t^{-\frac32}\right)=\frac1{2t}\left(\cos(4\pi)-\cos(\pi)\right)-t^{-1}$$$$\phantom{\frac{dI}{dt}}=\frac{1}{2t}\left(1-(-1)\right)-\frac1t=0$$