Ableitung nach x berechnen einer y Funktion (Integrationsvariable y)

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

2. Aufgabe: Parameterintegrale (1+1 Punkte)

Gegeben sei das parameterabhängige Integral

\( F(x):=\int \limits_{0}^{x} x \cos (y) \mathrm{d} y . \)

Berechnen Sie die Ableitung \( F^{\prime} \) von \( F \) bzgl. des Parameters \( x \in \mathbb{R} \)

              (a) durch Integration nach \( y \) und anschließendes Ableiten von \( F \) nach \( x \),
              (b) durch Ableiten von \( F \) nach \( x \) (Leibniz-Regel) und anschließende Integration nach \( y \).

Problem/Ansatz:

Ich bräuchte Hilfe beim Lösen dieser aufgabe... Eine step-by-step solution wäre toll zum nachvollziehen!

Freundliches mathematisch-kopfrauchendes LG!

Comments

Bei (a) musst du doch nur \(\cos y\) integrieren und danach den gesamten Ausdruck differenzieren.

Bei (b) verwendest du einfach die angegebene Leibniz-Regel. Wo ist das Problem?

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Ja, a) habe ich jetzt hinbekommen, aber ich stelle mich schwierig bei aufgabenteil b) :(

Answer 1

Aloha :)

Gegeben ist uns:$$F(x)=\int\limits_0^xx\cos y\,dy$$Gesucht ist \(F'(x)\).

zu a) Wir bestimmen zuerst das Integral über \(dy\) und leiten anschließend nach \(x\) ab:$$F(x)=\int\limits_0^xx\cos y\,dy=x\int\limits_0^x\cos y\,dy=x\left[\sin y\right]_{y=0}^x=x\sin x$$$$F'(x)=\sin x+x\cos x$$

zu b) Wir nutzen die Leibniz-Regel:$$F'(x)=\int\limits_{\green0}^{\red x}\frac{\partial}{\partial x}\left(\blue{x\cos y}\right)dy+\left(\blue{x\cos y}\right)_{y=\red x}\cdot(\red x)'-(\blue{x\cos y})_{y=\green0}\cdot(\green0)'$$$$\phantom{F'(x)}=\int\limits_0^x\cos y\,dy+x\cos x-0=\left[\sin y\right]_{y=0}^x+x\cos x=\sin x+x\cos x$$

Answer 2

a) Wenn du nach y integrierst, ist x eine Konstante

F(y) = x*sin(y) +C

F'(x)= 1*sin(y), sin(y) ist die Konstante

Comments

Die abzuleitende Funktion ist eine in der Variablen x, nicht die in der Variablen y, die bei dir eine Zeile darüber steht.