l'Hospital, 1/0 - 1/0 - falscher Weg?

Question

Hallo, mein Problem ist folgende Aufgabe:

Grenzwertberechnung

Stehen würde da ja 1/0 - 1/0  - was nicht definiert ist und somit gegen unendlich strebt (richtig?).

Also l'Hospital.

Der erste Term abgeleitet ergibt bei mir 0, der zweite ebenfalls. Somit 0-0=0 , was ja zulässig wäre. Doch laut der Lösung kommt hier 1/2 heraus. Wie kann das sein? Wo liegt der Fehler?

Answer 1

Aloha :)

Du kannst L'Hospital erst anwenden, wenn Zähler und Nenner unabhängig voneinander gegen \(\infty\) oder gegen \(0\) konvergieren. Das ist bei den beiden einzelnen Brüchen nicht der Fall. Wir müssen sie daher erst zusammenbauen:

$$\lim\limits_{x\to1}\left(\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{x-1}\right)=\lim\limits_{x\to1}\left(\frac{(x-1)-\ln x}{(x-1)\ln x}\right)$$Zähler und Nenner gehen nun für \(x\to1\) gegen \(0\), wir leiten sie ab:$$=\lim\limits_{x\to1}\left(\frac{1-\frac1x}{\ln x+\frac{x-1}{x}}\right)=\lim\limits_{x\to1}\left(\frac{1-\frac1x}{\ln x+1-\frac1x}\right)$$Immer noch ergeben Zähler und Nenner für \(x=1\) den Wert \(0\), wir leiten die Patienten nochmal ab:$$=\lim\limits_{x\to1}\left(\frac{\frac{1}{x^2}}{\frac1x+\frac1{x^2}}\right)=\frac{1}{1+1}=\frac12$$

Comments

Danke für die Antwort! Habe alles soweit verstanden :)

Bis auf den Anfang; triviale Frage, aber wie kommst du auf die Zusammenfassung beider Brüche?

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Die Technik nennt sich "über Kreuz multiplizieren":

$$\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{x-1}=\frac{(x-1)}{(x-1)\ln x}-\frac{\ln x}{(x-1)\ln x}=\frac{(x-1)-\ln x}{(x-1)\ln x}$$

Du multiplizierst den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs und den Zähler des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten Bruchs. Die Summe von beiden kommt in den Zähler (das ist das "über Kreuz"). In den Nenner kommt das Produkt der beiden Nenner.

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Die Technik nennt sich "über Kreuz multiplizieren":

Bleiben wir doch mal bei richtigen Fachbegriffen. Die Technik nennt sich "gleichnamig machen ungleichnamiger Brüche", was durch gezieltes ERWEITERN der Brüche (multiplizieren ist was anderes) erreicht wird.

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Ich habe es als "über Kreuz multiplizieren" gelernt, und es war mir als Kind sehr einleuchtend. Es geht nämlich viel schneller, weil man die Zwischenschritte quasi im Kopf macht.