Differentialgleichung mit Anfangswertproblem lösen: y´(t) = c·y(t)(1−y(t))

Question

Sei y: [0,∞) → [0,1] eine Funktion, die den Anteil der Menschen innerhalb einer Bevölkerungsgruppe beschreibt, die zu einer bestimmten Zeit t an Grippe erkrankt sind. Ein einfaches Modell zur Beschreibung der zeitlichen Entwicklung dieser Funktion y ist gegeben durch die ’logistische Gleichung’

y´(t) = c·y(t)(1−y(t)),
wobei c>0 und der Anteil der zum Zeitpunkt 0 erkrankten Menschen durch die Anfangsbedingung y(0)=a,a ∈ [0,1] gegeben

1) Lösung für Anfangswertproblem lösen mit Hilfe ’Trennung der Variablen’ & einer Partialbruchzerlegung der Form 1/(y(1−y)) =Ay+ B/(1−y)

2) Welche Ergebnisse zählen zu den Anfangswerten a=0 und a=1.

Answer 1

y´(t) = c * y(t) *(1−y(t))

dy/dt = c * y * (1-y)

Trennen der Variablen:

∫ 1/ [(1-y)*y] dy= ∫ c dt

Partialbruchzerlegung:

1/(y*(1-y)) = A/y + B/(1-y)

1 = A(1-y) + By

1 = A - Ay + By

Koeffizientenvergleich:

1 = A

0 = B - A  ⇒ B=A=1

Daraus folgt für die DGL:

∫1/y + 1/(1-y) dy = ∫ c dt

ln y - ln (1-y) = c * t + C

ln (y/(y-1)) = c * t + C

y/(y-1) = C₁*e^c*t                  / *(y-1)

y = (C₁*e^c*t) * y - (C₁*e^c*t)      /-(C₁*e^c*t) * y    /*(-1)

(C₁*e^c*t) * y - y =  (C₁*e^c*t)

y (C₁*e^c*t - 1) = (C₁*e^c*t)

y = (C₁*e^c*t) / (C₁*e^c*t - 1)

Allgemeine Lösung:

y = e^c*t / (e^c*t  + C₂)

für y(0) = a

a = e^0*t / (e^0*t  + C₂) = 1 / (1+C₂)

C₂ = 1/a - 1

Spezielle Lösung:

y = e^c*t / (e^c*t  + 1/a - 1)

für a=1:

y = 1

Für a=0 gibt es keine Lösung.