Zeigen Sie, dass Funktion stets zwei Wendepunkte besitzt

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass f(x) = x^4+ a*x^3 für a > 0 stets zwei Wendepunkte besitzt.

Gilt dies auch für die abgeänderte Funktion f(x) = x^4+ ax^2?

Answer 1

f(x) = x^4 + a·x^3

f'(x) = 4·x^3 + 3·a·x^2

f''(x) = 12·x^2 + 6·a·x = 6·x·(2·x + a)

x = 0 oder x = -a/2

Damit haben wir exakt 2 Nullstellen mit VZW und damit exakt zwei Wendepunkte.

f(x) = x^4 + a·x^2

f'(x) = 4·x^3 + 2·a·x

f''(x) = 12·x^2 + 2·a = 0

x = ± √(- a/6)

Für a > 0 gibt es hier keine Nullstellen und damit keine Wendestellen.

Answer 2

Die Funktion besitzt zwei Wendepunkte, wenn ihre zweite Ableitung zwei Nullstellen hat.

Die zweite Ableitung gleich null gesetzt bildet eine quadratische Gleichung. Diese hat zwei Lösungen, wenn ihre Diskriminante positiv ist.

Die Diskriminante ist das unter der Wurzel bei der Mitternachtsformel.

Comments

Die Funktion besitzt zwei Wendepunkte, wenn ihre zweite Ableitung zwei Nullstellen hat.

Das ist eine völlig unzureichende Begründung

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Wenn es nicht hinreichend ist, nur die notwendige Bedingung für eine Wendestelle zu nennen: Es gibt auch die drei hinreichenden Bedingungen für eine Wendestelle, von denen mindestens eine erfüllt sein muss: zweite Ableitung wechselt das Vorzeichen oder dritte Ableitung ungleich Null oder die erste von Null verschiedene Ableitung ist ungerader Ordnung...

Notwendige Bedingung bedeutet, wenn sie erfüllt ist kann es eine Wendestelle sein, muss aber nicht, und wenn sie nicht erfüllt ist, kann es keine Wendestelle sein.

Hinreichende Bedingung bedeutet, wenn sie erfüllt ist, ist es immer eine Wendestelle, es kann aber auch eine Wendestelle sein wenn sie nicht erfüllt ist, da es mehrere hinreichende Bedingungen für Wendestellen gibt und es reicht, wenn eine hinreichende Bedingung erfüllt ist.

Answer 3

Hallo

das kannst du doch leicht nachprüfen mit f''(x)=0 und f'''≠0

für beide Funktionen .

Was ist dein Problem?