Wieso ist 0^n nicht definiert?

Question

Erkläre wieso 0^n nicht definiert ist.

Comments

\( 0^n \) ist z.B. für \( n \in \mathbb N \) sehr wohl definiert.

Du solltest dein Frage deshalb präzisieren.

Answer 1

Aloha :)

Die Aussage stimmt nicht. Es ist:$$0^n=\underbrace{0\cdot0\cdot0\cdots0}_{\text{n Faktoren}}=0\quad\text{für }n\in\mathbb N$$

Allerdings ist \(0^0\) nicht definiert. Es gilt nämlich:$$0^x=0\;\;\text{für }x>0\quad;\quad x^0=1\;\;\text{für }x>0$$Man kann daher nicht eindeutig festlegen, was nun \(0^0\) sein sollte.

Die meisten Taschenrechner liefern bei \(0^0\) einen Fehler. Manche Mathe-Profs definieren jedoch auch \(0^0\coloneqq1\), weil das bei einigen mathematischen Beweisen Sonderfälle spart und insbesondere die Handhabung von Potenzreihen erleichtert.

Ich habe mir gemerkt, dass \(0^0\) grundsätzlich nicht definiert ist, im Zusammenhang mit Potenzreihen aber \(1\) ist.

Answer 2

In der Algebra definiert man die "leere Summe" \(\sum_{i \in \emptyset}x\)

für beliebige Summanden \(x\) als neutrales Element der Addition, also

\(\sum_{i \in \emptyset}x=0\). Analog definiert man das "leere Produkt"

\(\prod_{i \in \emptyset} x\) als neutrales Element der Multiplikation, also

\(\prod_{i \in \emptyset}x=1\). Insbesondere ist dann \(0^0=1\).

Comments

Also ist das Resultat zwar definiert aber abhängig von n?

z.B.

0^0 = 1,

0^2 = 0 * 0 = 0 usw?

https://www.mathelounge.de/10645/frage-zu-0-0-nicht-definiert

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Ja. So ist es!